Ableitungen der Hyperbelfunktionen (sinh, cosh, tanh)

Die Hyperbelfunktionen sind das „exponentielle Gegenstück“ zu den trigonometrischen Funktionen. Ihre Ableitungen folgen sehr einfachen Mustern und lassen sich mit der Kettenregel auf zusammengesetzte Terme erweitern.

📜 Kernformeln

$$ \frac{d}{dx}\big(\sinh x\big) = \cosh x $$ $$ \frac{d}{dx}\big(\cosh x\big) = \sinh x $$ $$ \frac{d}{dx}\big(\tanh x\big) = \operatorname{sech}^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x} $$

💡 Nützliche Identitäten: $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$, $\tanh x = \dfrac{\sinh x}{\cosh x}$, $\operatorname{sech} x = \dfrac{1}{\cosh x}$.
🧠 Analogien: Wie bei sin/cos führt wiederholtes Ableiten zu zyklischen Mustern, jedoch ohne Vorzeichenwechsel bei $\cosh$→$\sinh$.

🪜 Anwendung mit der Kettenregel

Außenfunktion erkennen: $\sinh(\,\cdot\,)$, $\cosh(\,\cdot\,)$ oder $\tanh(\,\cdot\,)$.
Außen ableiten: $\dfrac{d}{du}\sinh u=\cosh u$, $\dfrac{d}{du}\cosh u=\sinh u$, $\dfrac{d}{du}\tanh u=\operatorname{sech}^2 u$.
Mit Innenableitung multiplizieren: Ergebnis $\times\, u'(x)$.

$$ \frac{d}{dx}\big(\sinh(u(x))\big) = \cosh(u(x))\,u'(x) $$ $$ \frac{d}{dx}\big(\cosh(u(x))\big) = \sinh(u(x))\,u'(x) $$ $$ \frac{d}{dx}\big(\tanh(u(x))\big) = \operatorname{sech}^2(u(x))\,u'(x) $$

✏️ Beispiele zur Veranschaulichung

Beispiel 1: Einfache Ableitungen

$\dfrac{d}{dx}\big(\sinh x\big)=\cosh x$
$\dfrac{d}{dx}\big(\cosh x\big)=\sinh x$
$\dfrac{d}{dx}\big(\tanh x\big)=\dfrac{1}{\cosh^2 x}$

Beispiel 2: Kettenregel mit Linearform

$f(x)=\sinh(3x-2)$

$$ f'(x)=\cosh(3x-2)\cdot 3 = 3\,\cosh(3x-2). $$

Beispiel 3: Kettenregel mit Quadrat

$g(x)=\cosh(x^2)$

$$ g'(x)=\sinh(x^2)\cdot 2x = 2x\,\sinh(x^2). $$

Beispiel 4: Quotientendarstellung der tanh-Ableitung

$h(x)=\tanh(u(x))$

$$ h'(x)=\operatorname{sech}^2(u(x))\,u'(x)=\frac{u'(x)}{\cosh^2(u(x))}. $$

Beispiel 5: Kombination mit Produktregel

$p(x)=x\cdot \sinh x$

$$ p'(x)=1\cdot\sinh x + x\cdot \cosh x=\sinh x + x\cosh x. $$