Tipps & Tricks zum Ableiten: Schneller zur richtigen Ableitung

🪄Auf geschickte Form bringen: Potenzen statt Brüche & Wurzeln

Schreibe Brüche und Wurzeln nach Möglichkeit als Potenzen. So greifst du sofort zur Potenzregel.

Beispiele:

$\dfrac{1}{x^2} = x^{-2} \;\Rightarrow\; (x^{-2})' = -2\,x^{-3}$

$\sqrt{x} = x^{\tfrac{1}{2}} \;\Rightarrow\; (x^{\tfrac{1}{2}})' = \tfrac{1}{2}\,x^{-\tfrac{1}{2}}$

$\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}} = x^{-\tfrac{2}{3}}\;\Rightarrow\;(x^{-\tfrac{2}{3}})' = -\tfrac{2}{3}\,x^{-\tfrac{5}{3}}$

Brüche nach oben ziehen: $\dfrac{a}{x^n} = a\cdot x^{-n}$.
Wurzeln als Exponenten: $\sqrt[n]{x^m}=x^{\tfrac{m}{n}}$.
Exponenten erst vereinfachen, dann ableiten: z. B. $x^{2}\cdot x^{3}=x^{5}\Rightarrow 5x^{4}$.

🧮Konstanten ausklammern & Linearität nutzen

Konstanten vorziehen, Summen einzeln ableiten. Das macht Ausdrücke schlanker und die Ableitung direkter.

$(c\cdot f(x))' = c\cdot f'(x),\quad (f(x)+g(x))' = f'(x)+g'(x)\,.$

Konstanten vorziehen: $7\sin x \Rightarrow 7\cos x$.
Summe zerlegen: $(x^3+4x)'\Rightarrow 3x^2+4$.
Multiplikationen/Quotienten nicht “einfach” trennen – dafür gibt es Produkt-/Quotientenregel.

✂️Produkt- und Quotientenregel gezielt vorbereiten

Oft lohnt sich ein kurzes Umschreiben, um Produkte/Quotienten übersichtlicher zu machen.

Regeln:

$(u\cdot v)' = u'\,v + u\,v'$

$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'\,v - u\,v'}{v^2}$

Konstanten vorab herausziehen: $3x\sin x \Rightarrow 3\cdot (x\sin x)$.
Quotient als Produkt mit $v^{-1}$: $\dfrac{u}{v}=u\cdot v^{-1}$ (häufig einfacher, wenn $v$ eine Potenz ist).
Faktorisieren vor der Regel: $x^2\sin x+x\sin x = x(x+1)\sin x$ → nur eine Produktregel nötig.

🧵Kettenregel schnell erkennen (u-Substitution im Kopf)

Denke bei verschachtelten Funktionen sofort “$u=\dots$” und leite äußerer ∘ innerer Funktion ab.

$\dfrac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))\cdot g'(x)$

Beispiel: $\dfrac{d}{dx}\big(\ln(3x^2+1)\big)=\dfrac{1}{3x^2+1}\cdot 6x$.

Beispiel: $\dfrac{d}{dx}\big((5-2x)^7\big)=7(5-2x)^6\cdot(-2)$.

Power-auf-Power: $(g(x))^n$ → Potenzregel mit Kettenregel.
ln von “kompliziert”: $\ln(u(x))'=\dfrac{u'(x)}{u(x)}$.
e-Funktionen: $(e^{u(x)})'=u'(x)\,e^{u(x)}$.

📈Logarithmische Ableitung für variable Potenzen

Wenn Basis und Exponent beide von $x$ abhängen (z. B. $f(x)^{g(x)}$), ist die logarithmische Ableitung oft der schnellste Weg.

Beispiel: $y=x^x$.

$\ln y=\ln(x^x)=x\ln x \Rightarrow \dfrac{y'}{y}=\ln x+1\Rightarrow y' = x^x(\ln x + 1)$.

Allgemein: $y=f(x)^{g(x)}\Rightarrow \ln y=g(x)\ln f(x)$ ableiten und nach $y'$ auflösen.
Konstante Basis $a^u$: $(a^{u(x)})'=a^{u(x)}\ln(a)\cdot u'(x)$.
Konstanter Exponent $u^c$: Potenzregel mit Kettenregel wie gewohnt.

🕵️Implizit ableiten, wenn explizit zu mühsam ist

Wenn $y$ nicht isoliert ist (z. B. $x^2 + y^2 = 1$), leite beide Seiten nach $x$ ab und nutze $\dfrac{dy}{dx}$ als unbekannte Größe.

Beispiel: $x^2+y^2=1\Rightarrow 2x+2y\cdot y'=0\Rightarrow y'=-\dfrac{x}{y}$.

Kettenregel beachten: $\dfrac{d}{dx}\,y^n = n\,y^{n-1}\,y'$.
Zum Schluss nach $y'$ auflösen und – falls nötig – $y$ durch den ursprünglichen Zusammenhang ausdrücken.

🎯Trigonometrische, inverse & hyperbolische Funktionen

Häufige Ableitungen parat haben – und stets die innere Ableitung multiplizieren.

$(\sin u)' = u'\cos u,\quad (\cos u)' = -u'\sin u,\quad (\tan u)' = u'\sec^2 u$

$(\arcsin u)' = \dfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}},\quad (\arctan u)' = \dfrac{u'}{1+u^2}$

$(\sinh u)' = u'\cosh u,\quad $(\cosh u)' = u'\sinh u,\quad $(\tanh u)' = u'\operatorname{sech}^2 u$

Identitäten geschickt nutzen: $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ für Quotientenregel oder $\sec^2 x$ direkt.
Kettenregel nie vergessen: steht $u(x)$ im Argument, immer mit $u'(x)$ multiplizieren.

🧊Betrag & Fallunterscheidungen

$|x|$ ist stückweise definiert. Beim Ableiten unbedingt die Fälle beachten oder als $|x|=\sqrt{x^2}$ mit Kettenregel arbeiten (aber auf das Vorzeichen achten).

$$|x|'=\begin{cases}1,&x>0\\-1,&x<0\end{cases}\quad(\text{bei }x=0\text{ nicht differenzierbar})$$

🧹Vereinfachen: Vorher spart Arbeit, hinterher schafft Klarheit

Faktoren bündeln: $x\cdot x^2=x^3$, Konstanten zusammenfassen, klare Potenzform wählen.
Sinvolle Reihenfolge: erst umformen (z. B. Potenzen), dann Regel anwenden, danach wieder aufräumen.
Minuszeichen normalisieren: Doppelminus $(--)\rightarrow(+)$, $(+-)\rightarrow(-)$ bereits im Ausdruck vereinheitlichen.

Beispiel: $\dfrac{3x}{\sqrt{x}} = 3x^{1-\tfrac{1}{2}}=3x^{\tfrac{1}{2}}\Rightarrow \dfrac{d}{dx}= \tfrac{3}{2}x^{-\tfrac{1}{2}}$.

✅Checkliste vor dem Ableiten

In Potenzform bringen Brüche und Wurzeln zu $x^r$ umschreiben.
Konstanten ausklammern Faktoren vorziehen, Summen zerlegen.
Regel identifizieren Summe, Produkt, Quotient, Kette, Log- oder implizite Ableitung?
Innere Ableitung sichern Bei verschachtelten Argumenten niemals $u'(x)$ vergessen.
Nachbereiten Ergebnis vereinfachen (Potenzen, Vorzeichen, gemeinsame Faktoren).

🧪Kleine Beispiele

1. $\dfrac{d}{dx}\big(\dfrac{4}{x^3}\big)\;=\;\dfrac{d}{dx}\big(4x^{-3}\big)\;=\;4\cdot(-3)x^{-4}=-12x^{-4}$.

2. $\dfrac{d}{dx}\big(\sqrt{x}\,\ln(5x)\big)\;=\;\dfrac{1}{2}x^{-\tfrac{1}{2}}\ln(5x)+x^{\tfrac{1}{2}}\cdot\dfrac{1}{5x}\cdot 5$.

3. $\dfrac{d}{dx}\big(\dfrac{x^2\sin x}{\sqrt[3]{x}}\big)\;=\;\dfrac{d}{dx}\big(x^{\tfrac{5}{3}}\sin x\big) = \tfrac{5}{3}x^{\tfrac{2}{3}}\sin x + x^{\tfrac{5}{3}}\cos x.$

Bei Produkten mit Potenzen lohnt sich fast immer das Vorab-Umschreiben.

⚠️Häufige Stolperfallen

Innere Ableitung vergessen: z. B. $(\ln(3x))'=\dfrac{1}{3x}\cdot\color{#d33}{3}$.
Quotient “falsch getrennt”: $(\tfrac{u}{v})'\neq\tfrac{u'}{v'}$.
Vorzeichenchaos: Doppelminus vorab normalisieren.
Domänen ignoriert: z. B. $\ln(x)$ nur für $x>0$; bei $|x|$ Fallunterscheidung.