Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\left(3\,x^{2} - 1\right)\,\cos\left(x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\left(3\,x^{2} - 1\right)\,\cos\left(x\right)\right]}$$
Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.
Schritt 1 — Produktregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = 3\,x^{2} - 1$
- $v = \cos\left(x\right)$
Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(3\,x^{2} - 1\right)\,\cos\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[3\,x^{2} - 1\right]}\,\cos\left(x\right) + \left(3\,x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Summen-/Differenzenregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = 3\,x^{2}$
- $v = 1$
Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[3\,x^{2} - 1\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[3\,x^{2}\right]} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[3\,x^{2} - 1\right]}\,}}}\,\cos\left(x\right) + \left(3\,x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[3\,x^{2}\right]} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,}}}\,\cos\left(x\right) + \left(3\,x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$$
Schritt 3 — Faktorregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 3$
- $u = x^{2}$
Warum dieser Schritt? Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[3\,x^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 3\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[3\,x^{2}\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\cos\left(x\right) + \left(3\,x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Faktorregel
$$\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\cos\left(x\right) + \left(3\,x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$$
Schritt 4 — Potenzregel (Spezialfall)
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 2$
Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2 - 1}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(3\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\cos\left(x\right) + \left(3\,x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\left(3 \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\cos\left(x\right) + \left(3\,x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$$
Schritt 5 — Zahlen ausrechnen
Vereinfachung
📖 Regel
Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
Nur der geänderte Teil:
$2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(3 \cdot 2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\cos\left(x\right) + \left(3\,x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\left(3 \cdot 2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\cos\left(x\right) + \left(3\,x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$$
Schritt 6 — Potenz mit Exponent 1
Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$
Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.
Nur der geänderte Teil:
$x^{1} \;\Longrightarrow\; x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(3 \cdot 2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{1}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\cos\left(x\right) + \left(3\,x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$\left(3 \cdot 2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\cos\left(x\right) + \left(3\,x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$$
Schritt 7 — Zahlenfaktoren zusammenfassen
Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot u\cdot b=(a\cdot b)\cdot u$$
Warum dieser Schritt? Wir multiplizieren die Zahlenfaktoren miteinander und schreiben das Ergebnis nach vorne. Die übrigen Faktoren bleiben stehen. Ist das Produkt 1, entfällt dieser Faktor ganz.
Nur der geänderte Teil:
$3 \cdot 2\,x \;\Longrightarrow\; 6\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3 \cdot 2\,x\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\cos\left(x\right) + \left(3\,x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Zahlenfaktoren zusammenfassen
$$\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,6\,x\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\cos\left(x\right) + \left(3\,x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$$
Schritt 8 — Konstantenregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
- $c = 1$
Warum dieser Schritt? Dieser Term hängt nicht von x ab. Sein Wert bleibt gleich, wenn sich x ändert. Deshalb ist die Ableitung 0. Andere Buchstaben werden als konstante Parameter behandelt.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[1\right]} \;\Longrightarrow\; 0$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(6\,x - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}}\right)\,\cos\left(x\right) + \left(3\,x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Konstantenregel
$$\left(6\,x - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right)\,\cos\left(x\right) + \left(3\,x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$$
Schritt 9 — Null als Summand entfernen
Vereinfachung
📖 Regel
$$a+0=a,\quad a-0=a$$
Warum dieser Schritt? Das Addieren oder Subtrahieren von 0 ändert den Wert nicht. Dieser Summand darf wegfallen.
Nur der geänderte Teil:
$6\,x - 0 \;\Longrightarrow\; 6\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(6\,x - 0\right)\,}}}\,\cos\left(x\right) + \left(3\,x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Null als Summand entfernen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,6\,x\,}}}\,\cos\left(x\right) + \left(3\,x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$$
Schritt 10 — Ableitung des Kosinus
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\cos\left(x\right)=-\sin\left(x\right)$$
Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; -\sin\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$6\,x\,\cos\left(x\right) + \left(3\,x^{2} - 1\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des Kosinus
$$6\,x\,\cos\left(x\right) + \left(3\,x^{2} - 1\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\sin\left(x\right)\right)\,}}}$$
Schritt 11 — Vorzeichen des Produkts bestimmen
Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(-b)=-(a\cdot b),\quad (-a)\cdot(-b)=a\cdot b$$
Warum dieser Schritt? Wir ziehen die Minuszeichen der Faktoren vor das Produkt. Eine gerade Anzahl von Minuszeichen ergibt Plus, eine ungerade Minus.
Nur der geänderte Teil:
$\left(3\,x^{2} - 1\right)\,\left(-\sin\left(x\right)\right) \;\Longrightarrow\; -\left(3\,x^{2} - 1\right)\,\sin\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$6\,x\,\cos\left(x\right) + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(3\,x^{2} - 1\right)\,\left(-\sin\left(x\right)\right)\,}}}$$
✨ Nach Vorzeichen des Produkts bestimmen
$$6\,x\,\cos\left(x\right) + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\left(3\,x^{2} - 1\right)\,\sin\left(x\right)\right)\,}}}$$
Schritt 12 — Plus und Minus zusammenfassen
Vereinfachung
📖 Regel
$$a+(-b)=a-b$$
Warum dieser Schritt? Das Addieren eines negativen Ausdrucks ist dasselbe wie das Subtrahieren des positiven Ausdrucks.
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,6\,x\,\cos\left(x\right) + \left(-\left(3\,x^{2} - 1\right)\,\sin\left(x\right)\right)\,}}}$$
✨ Nach Plus und Minus zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,6\,x\,\cos\left(x\right) - \left(3\,x^{2} - 1\right)\,\sin\left(x\right)\,}}}$$
Endergebnis
$$6\,x\,\cos\left(x\right) - \left(3\,x^{2} - 1\right)\,\sin\left(x\right)$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$6\,x\,\cos\left(x\right) - \left(3\,x^{2} - 1\right)\,\sin\left(x\right)$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt