Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\left(3\,x^{2} - 1\right)\,\cos\left(x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\left(3\,x^{2} - 1\right)\,\cos\left(x\right)\right]}$$
Schritt 1 — Produktregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = 3\,x^{2} - 1$
  • $v = \cos\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(3\,x^{2} - 1\right)\,\cos\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[3\,x^{2} - 1\right]}\,\cos\left(x\right) + \left(3\,x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Summen-/Differenzenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
  • $u = 3\,x^{2}$
  • $v = 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[3\,x^{2} - 1\right]}\,}}}\,\cos\left(x\right) + \left(3\,x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[3\,x^{2}\right]} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}}\,\cos\left(x\right) + \left(3\,x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$$
Schritt 3 — Faktorregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
  • $c = 3$
  • $u = x^{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[3\,x^{2}\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\cos\left(x\right) + \left(3\,x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Faktorregel
$$\left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\cos\left(x\right) + \left(3\,x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$$
Schritt 4 — Potenzregel (Spezialfall)
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(3 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\cos\left(x\right) + \left(3\,x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\left(3 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\cos\left(x\right) + \left(3\,x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$$
🧹 Vereinfacht
$$\left(\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,6\,x^{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}\,} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\cos\left(x\right) + \left(3\,x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$$
Schritt 5 — Konstantenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
  • $c = 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(6\,x - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}}\right)\,\cos\left(x\right) + \left(3\,x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Konstantenregel
$$\left(6\,x - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right)\,\cos\left(x\right) + \left(3\,x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$$
🧹 Vereinfacht
$$6\,x\,\cos\left(x\right) + \left(3\,x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$$
Schritt 6 — Ableitung des Kosinus
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x)$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$6\,x\,\cos\left(x\right) + \left(3\,x^{2} - 1\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des Kosinus
$$6\,x\,\cos\left(x\right) + \left(3\,x^{2} - 1\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(x\right)\,}}}$$
🧹 Vereinfacht
$$6\,x\,\cos\left(x\right) + \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\left(3\,x^{2} - 1\right)\,\sin\left(x\right)\,}$$
Endergebnis
$$6 \cdot \cos\left(x\right)\,x - \left(3\,x^{2} - 1\right)\,\sin\left(x\right)$$
Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$6 \cdot \cos\left(x\right)\,x - \left(3\,x^{2} - 1\right)\,\sin\left(x\right)$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)