Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{x + 1}{x - 1}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{x + 1}{x - 1}\right]}$$
Schritt 1 — Quotientenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = x + 1$
- $v = x - 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{x + 1}{x - 1}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[x + 1\right]}\,\left(x - 1\right) - \left(x + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]}}{\left(x - 1\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Summen-/Differenzenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = x$
- $v = 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x + 1\right]}\,}}}\,\left(x - 1\right) - \left(x + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]}}{\left(x - 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}}\,\left(x - 1\right) - \left(x + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]}}{\left(x - 1\right)^{2}}$$
Schritt 3 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\left(x - 1\right) - \left(x + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]}}{\left(x - 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\left(x - 1\right) - \left(x + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]}}{\left(x - 1\right)^{2}}$$
Schritt 4 — Konstantenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
- $c = 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(1 + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}}\right)\,\left(x - 1\right) - \left(x + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]}}{\left(x - 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Konstantenregel
$$\frac{\left(1 + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right)\,\left(x - 1\right) - \left(x + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]}}{\left(x - 1\right)^{2}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{x - 1 - \left(x + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]}}{\left(x - 1\right)^{2}}$$
Schritt 5 — Summen-/Differenzenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = x$
- $v = 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{x - 1 - \left(x + 1\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]}\,}}}}{\left(x - 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\frac{x - 1 - \left(x + 1\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}}}{\left(x - 1\right)^{2}}$$
Schritt 6 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{x - 1 - \left(x + 1\right) \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)}{\left(x - 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{x - 1 - \left(x + 1\right) \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)}{\left(x - 1\right)^{2}}$$
Schritt 7 — Konstantenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
- $c = 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{x - 1 - \left(x + 1\right) \cdot \left(1 - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}}\right)}{\left(x - 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Konstantenregel
$$\frac{x - 1 - \left(x + 1\right) \cdot \left(1 - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right)}{\left(x - 1\right)^{2}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{x - 1 - \left(x + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2}}$$
Endergebnis
$$-\frac{2}{\left(x - 1\right)^{2}}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\frac{1}{x - 1} - \frac{x + 1}{\left(x - 1\right)^{2}}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)