Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$-x^{4} + 3\,x^{3} - x$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[-x^{4} + 3\,x^{3} - x\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
  • $u = -x^{4}$
  • $v = 3\,x^{3}$
  • $w = x$

Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[-x^{4} + 3\,x^{3} - x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[-x^{4}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[3\,x^{3}\right]} - \frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung eines negativen Terms Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(-u) = -u'$$
Mit:
  • $u = x^{4}$

Warum dieser Schritt? Das Minuszeichen bleibt erhalten. Wir leiten anschließend den Ausdruck dahinter ab.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[-x^{4}\right]} \;\Longrightarrow\; -\frac{d}{dx}{\left[x^{4}\right]}$
Interne Erklärung
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[-x^{4}\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[3\,x^{3}\right]} - \frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
✨ Nach Ableitung eines negativen Terms
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{d}{dx}{\left[x^{4}\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[3\,x^{3}\right]} - \frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
Schritt 3 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 4$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{4}\right]} \;\Longrightarrow\; 4\,x^{4 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{4}\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[3\,x^{3}\right]} - \frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$-\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,x^{4 - 1}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[3\,x^{3}\right]} - \frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
Schritt 4 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $4 - 1 \;\Longrightarrow\; 3$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-4\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4 - 1\,}}}} + \frac{d}{dx}{\left[3\,x^{3}\right]} - \frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$-4\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,}}}} + \frac{d}{dx}{\left[3\,x^{3}\right]} - \frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
Schritt 5 — Faktorregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
  • $c = 3$
  • $u = x^{3}$

Warum dieser Schritt? Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[3\,x^{3}\right]} \;\Longrightarrow\; 3\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-4\,x^{3} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[3\,x^{3}\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
✨ Nach Faktorregel
$$-4\,x^{3} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
Schritt 6 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 3$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]} \;\Longrightarrow\; 3\,x^{3 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-4\,x^{3} + 3\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$-4\,x^{3} + 3 \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,x^{3 - 1}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
Schritt 7 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $3 - 1 \;\Longrightarrow\; 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-4\,x^{3} + 3 \cdot 3\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3 - 1\,}}}} - \frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$-4\,x^{3} + 3 \cdot 3\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}}} - \frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
Schritt 8 — Zahlenfaktoren zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot u\cdot b=(a\cdot b)\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Wir multiplizieren die Zahlenfaktoren miteinander und schreiben das Ergebnis nach vorne. Die übrigen Faktoren bleiben stehen. Ist das Produkt 1, entfällt dieser Faktor ganz.

Nur der geänderte Teil: $3 \cdot 3\,x^{2} \;\Longrightarrow\; 9\,x^{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-4\,x^{3} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3 \cdot 3\,x^{2}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
✨ Nach Zahlenfaktoren zusammenfassen
$$-4\,x^{3} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,9\,x^{2}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
Schritt 9 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-4\,x^{3} + 9\,x^{2} - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$-4\,x^{3} + 9\,x^{2} - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}$$
Endergebnis
$$-4\,x^{3} + 9\,x^{2} - 1$$
Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$-4\,x^{3} + 9\,x^{2} - 1$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt