Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$-x^{4} + 3\,x^{3} - x$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[-x^{4} + 3\,x^{3} - x\right]}$$
Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $-x^{4}$
- $3\,x^{3}$
- $-x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[-x^{4} + 3\,x^{3} - x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[-x^{4}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[3\,x^{3}\right]} - \frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung eines negativen Terms
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(-u) = -u'$$
Mit:
- $u = x^{4}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[-x^{4}\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[3\,x^{3}\right]} - \frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
✨ Nach Ableitung eines negativen Terms
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{d}{dx}{\left[x^{4}\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[3\,x^{3}\right]} - \frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
Schritt 3 — Potenzregel (Spezialfall)
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 4$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{4}\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[3\,x^{3}\right]} - \frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$-\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,x^{4 - 1}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[3\,x^{3}\right]} - \frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
🧹 Vereinfacht
$$-4\,x^{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,}} + \frac{d}{dx}{\left[3\,x^{3}\right]} - \frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
Schritt 4 — Faktorregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 3$
- $u = x^{3}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-4\,x^{3} + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[3\,x^{3}\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
✨ Nach Faktorregel
$$-4\,x^{3} + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
Schritt 5 — Potenzregel (Spezialfall)
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 3$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-4\,x^{3} + 3 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$-4\,x^{3} + 3 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,x^{3 - 1}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
🧹 Vereinfacht
$$-4\,x^{3} + \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,9\,x^{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}\,} - \frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
Schritt 6 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-4\,x^{3} + 9\,x^{2} - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$-4\,x^{3} + 9\,x^{2} - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}$$
Endergebnis
$$-4\,x^{3} + 9\,x^{2} - 1$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$-4\,x^{3} + 9\,x^{2} - 1$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)