Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\frac{1}{x^{3}}\,\ln\left(x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{x^{3}}\,\ln\left(x\right)\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Produktregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = \frac{1}{x^{3}}$
  • $v = \ln\left(x\right)$

Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{x^{3}}\,\ln\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{x^{3}}\right]}\,\ln\left(x\right) + \frac{1}{x^{3}}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Kehrwert als negative Potenz schreiben Umformung
📖 Regel
$$\frac{c}{v}=c\cdot v^{-1},\quad \frac{c}{v^k}=c\cdot v^{-k}$$

Warum dieser Schritt? Der Nenner lässt sich als Potenz mit negativem Exponenten schreiben. Danach können wir Faktor- und Potenzregel anwenden. Der ursprüngliche Nenner darf weiterhin nicht 0 sein.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{x^{3}}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[x^{-3}\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{x^{3}}\right]}\,}}}\,\ln\left(x\right) + \frac{1}{x^{3}}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Kehrwert als negative Potenz schreiben
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{-3}\right]}\,}}}\,\ln\left(x\right) + \frac{1}{x^{3}}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$$
Schritt 3 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = -3$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{-3}\right]} \;\Longrightarrow\; -3\,x^{-3 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{-3}\right]}\,}}}\,\ln\left(x\right) + \frac{1}{x^{3}}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-3\,x^{-3 - 1}\,}}}\,\ln\left(x\right) + \frac{1}{x^{3}}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$$
Schritt 4 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $-3 - 1 \;\Longrightarrow\; -4$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-3\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-3 - 1\,}}}}\,\ln\left(x\right) + \frac{1}{x^{3}}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$-3\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-4\,}}}}\,\ln\left(x\right) + \frac{1}{x^{3}}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$$
Schritt 5 — Ableitung des natürlichen Logarithmus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{1}{x}$$

Warum dieser Schritt? Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist der Kehrwert seines Arguments. Hier ist das Argument genau die Ableitungsvariable.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{x}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-3\,x^{-4}\,\ln\left(x\right) + \frac{1}{x^{3}}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des natürlichen Logarithmus
$$-3\,x^{-4}\,\ln\left(x\right) + \frac{1}{x^{3}} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,}}}$$
Schritt 6 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

Nur der geänderte Teil: $\frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{x^{3}\,x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-3\,x^{-4}\,\ln\left(x\right) + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x}\,}}}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$-3\,x^{-4}\,\ln\left(x\right) + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x^{3}\,x}\,}}}$$
Schritt 7 — Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren Vereinfachung
📖 Regel
$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$

Warum dieser Schritt? Bei gleicher Basis werden die Exponenten addiert. Ein Faktor ohne sichtbaren Exponenten hat den Exponenten 1.

Nur der geänderte Teil: $x^{3}\,x \;\Longrightarrow\; x^{3 + 1}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-3\,x^{-4}\,\ln\left(x\right) + \frac{1}{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{3}\,x\,}}}}$$
✨ Nach Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren
$$-3\,x^{-4}\,\ln\left(x\right) + \frac{1}{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{3 + 1}\,}}}}$$
Schritt 8 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $3 + 1 \;\Longrightarrow\; 4$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-3\,x^{-4}\,\ln\left(x\right) + \frac{1}{x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3 + 1\,}}}}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$-3\,x^{-4}\,\ln\left(x\right) + \frac{1}{x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,}}}}}$$
Schritt 9 — Negative Exponenten als Bruch schreiben Vereinfachung
📖 Regel
$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

Warum dieser Schritt? Eine Potenz mit negativem Exponenten ist der Kehrwert der Potenz mit positivem Exponenten. So steht das Ergebnis ohne negative Exponenten da.

Nur der geänderte Teil: $-3\,x^{-4}\,\ln\left(x\right) \;\Longrightarrow\; -\frac{3\,\ln\left(x\right)}{x^{4}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-3\,x^{-4}\,\ln\left(x\right)\,}}} + \frac{1}{x^{4}}$$
✨ Nach Negative Exponenten als Bruch schreiben
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{3\,\ln\left(x\right)}{x^{4}}\,}}} + \frac{1}{x^{4}}$$
Endergebnis
$$-\frac{3\,\ln\left(x\right)}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $x^{3}\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.
  • $x>0$ – Das Logarithmusargument muss positiv sein.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\frac{1}{x^{4}} - \frac{3\,\log\left(x\right)}{x^{4}}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt