Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{1}{x^{3}}\,\ln\left(x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{\log\left(x\right)}{x^{3}}\right]}$$
Schritt 1 — Quotientenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = \log\left(x\right)$
- $v = x^{3}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{\log\left(x\right)}{x^{3}}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}\,x^{3} - \log\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}}{\left(x^{3}\right)^{2}}\,}}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}\,x^{3} - \log\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}}{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{6}\,}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Logarithmus
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\log(x)) = \frac{1}{x}$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}\,}}}\,x^{3} - \log\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}}{x^{6}}$$
✨ Nach Ableitung des Logarithmus
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,}}}\,x^{3} - \log\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}}{x^{6}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{3} \cdot \frac{1}{x}\,} - \log\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}}{x^{6}}$$
Schritt 3 — Potenzregel (Spezialfall)
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 3$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{x^{3} \cdot \frac{1}{x} - \log\left(x\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}\,}}}}{x^{6}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\frac{x^{3} \cdot \frac{1}{x} - \log\left(x\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,x^{3 - 1}\,}}}}{x^{6}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{x^{3} \cdot \frac{1}{x} - \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,\log\left(x\right)\,x^{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}\,}}{x^{6}}$$
Endergebnis
$$\frac{1}{x^{4}} - \frac{3\,\log\left(x\right)}{x^{4}}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\frac{1}{x^{4}} - \frac{3\,\log\left(x\right)}{x^{4}}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)