Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{1}{x}\,\cos\left(x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{\cos\left(x\right)}{x}\right]}$$
Schritt 1 — Quotientenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = \cos\left(x\right)$
- $v = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{\cos\left(x\right)}{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}\,x - \cos\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Kosinus
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x)$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}\,}}}\,x - \cos\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x^{2}}$$
✨ Nach Ableitung des Kosinus
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(x\right)\,}}}\,x - \cos\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x^{2}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-x\,\sin\left(x\right)\,} - \cos\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x^{2}}$$
Schritt 3 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{-x\,\sin\left(x\right) - \cos\left(x\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}}{x^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{-x\,\sin\left(x\right) - \cos\left(x\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}{x^{2}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{-x\,\sin\left(x\right) - \cos\left(x\right)}{x^{2}}$$
Endergebnis
$$-\frac{\sin\left(x\right)}{x} - \frac{\cos\left(x\right)}{x^{2}}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$-\frac{\sin\left(x\right)}{x} - \frac{\cos\left(x\right)}{x^{2}}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)