Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$10\,x^{5} + 2^{x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[10\,x^{5} + 2^{x}\right]}$$
Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = 10\,x^{5}$
- $v = 2^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[10\,x^{5} + 2^{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[10\,x^{5}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[2^{x}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Faktorregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 10$
- $u = x^{5}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[10\,x^{5}\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[2^{x}\right]}$$
✨ Nach Faktorregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,10\,\frac{d}{dx}{\left[x^{5}\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[2^{x}\right]}$$
Schritt 3 — Potenzregel (Spezialfall)
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 5$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$10 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{5}\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[2^{x}\right]}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$10 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,5\,x^{5 - 1}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[2^{x}\right]}$$
🧹 Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,50\,x^{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,}}\,} + \frac{d}{dx}{\left[2^{x}\right]}$$
Schritt 4 — Kettenregel (Exponentialfunktion, konstante Basis)
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(a^{u}\right)=a^{u}\,\ln(a)\,u'$$
Mit:
- $a = 2$
- $u = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$50\,x^{4} + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2^{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Kettenregel (Exponentialfunktion, konstante Basis)
$$50\,x^{4} + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2^{x}\,\ln\left(2\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
🧹 Vereinfacht
$$50\,x^{4} + \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\ln\left(2\right) \cdot 2^{x}\,}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
Schritt 5 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$50\,x^{4} + \ln\left(2\right) \cdot 2^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$50\,x^{4} + \ln\left(2\right) \cdot 2^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}$$
🧹 Vereinfacht
$$50\,x^{4} + \ln\left(2\right) \cdot 2^{x}$$
Endergebnis
$$50\,x^{4} + \log\left(2\right) \cdot 2^{x}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$50\,x^{4} + \log\left(2\right) \cdot 2^{x}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)