Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$2\,\ln\left(x\right)\,x$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[2\,\ln\left(x\right)\,x\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Faktorregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
  • $c = 2$
  • $u = \ln\left(x\right)\,x$

Warum dieser Schritt? Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,\ln\left(x\right)\,x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Faktorregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\,x\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Produktregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = \ln\left(x\right)$
  • $v = x$

Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\,x\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\,x + \ln\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\,x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\,x + \ln\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right)\,}}}$$
Schritt 3 — Ableitung des natürlichen Logarithmus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{1}{x}$$

Warum dieser Schritt? Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist der Kehrwert seines Arguments. Hier ist das Argument genau die Ableitungsvariable.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{x}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\,}}}\,x + \ln\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right)$$
✨ Nach Ableitung des natürlichen Logarithmus
$$2\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,}}}\,x + \ln\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right)$$
Schritt 4 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

Nur der geänderte Teil: $\frac{1}{x}\,x \;\Longrightarrow\; \frac{x}{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,x\,}}} + \ln\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right)$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$2\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{x}{x}\,}}} + \ln\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right)$$
Schritt 5 — Gemeinsamen Faktor kürzen Vereinfachung
📖 Regel
$$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$

Warum dieser Schritt? Derselbe Faktor steht im Zähler und im Nenner. Beim Kürzen werden die Exponenten subtrahiert. Stellen, an denen dieser Faktor 0 ist, bleiben wegen der ursprünglichen Bedingungen ausgeschlossen.

Nur der geänderte Teil: $\frac{x}{x} \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{x}{x}\,}}} + \ln\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right)$$
✨ Nach Gemeinsamen Faktor kürzen
$$2\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} + \ln\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right)$$
Schritt 6 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\left(1 + \ln\left(x\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\right)$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$2\,\left(1 + \ln\left(x\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\right)$$
Schritt 7 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $\ln\left(x\right) \cdot 1 \;\Longrightarrow\; \ln\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\left(1 + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\ln\left(x\right) \cdot 1\,}}}\right)$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$2\,\left(1 + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\ln\left(x\right)\,}}}\right)$$
Endergebnis
$$2\,\left(1 + \ln\left(x\right)\right)$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $x>0$ – Das Logarithmusargument muss positiv sein.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$2\,\log\left(x\right) + 2$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt