Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{3}{x} + 4\,\sqrt{x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{3}{x} + 4\,\sqrt{x}\right]}$$
Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = \frac{3}{x}$
- $v = 4\,\sqrt{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{3}{x} + 4\,\sqrt{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{3}{x}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[4\,\sqrt{x}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Faktorregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 3$
- $u = x^{-1}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{3}{x}\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[4\,\sqrt{x}\right]}$$
✨ Nach Faktorregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,\frac{d}{dx}{\left[x^{-1}\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[4\,\sqrt{x}\right]}$$
Schritt 3 — Potenzregel (Spezialfall)
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = -1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$3 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{-1}\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[4\,\sqrt{x}\right]}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$3 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-1\,x^{-1 - 1}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[4\,\sqrt{x}\right]}$$
🧹 Vereinfacht
$$3 \cdot \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-x^{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-2\,}}\,} + \frac{d}{dx}{\left[4\,\sqrt{x}\right]}$$
Schritt 4 — Faktorregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 4$
- $u = \sqrt{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$3\,\left(-x^{-2}\right) + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[4\,\sqrt{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Faktorregel
$$3\,\left(-x^{-2}\right) + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}\,}}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-3\,x^{-2}\,} + 4\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}$$
Schritt 5 — Kettenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}f(u)=f'(u)\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-3\,x^{-2} + 4 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Kettenregel
$$-3\,x^{-2} + 4 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2\,\sqrt{x}}\,}}}$$
Endergebnis
$$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{x^{2}}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{3}{x^{2}}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)