Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$5 \cdot \left(x^{2} + 3\right)^{4} - 2\,x$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[5 \cdot \left(x^{2} + 3\right)^{4} - 2\,x\right]}$$
Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = 5 \cdot \left(x^{2} + 3\right)^{4}$
- $v = 2\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[5 \cdot \left(x^{2} + 3\right)^{4} - 2\,x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[5 \cdot \left(x^{2} + 3\right)^{4}\right]} - \frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Faktorregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 5$
- $u = \left(x^{2} + 3\right)^{4}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[5 \cdot \left(x^{2} + 3\right)^{4}\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}$$
✨ Nach Faktorregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,5\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x^{2} + 3\right)^{4}\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}$$
Schritt 3 — Potenzregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}\,u'$$
Mit:
- $u = x^{2} + 3$
- $c = 4$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$5 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x^{2} + 3\right)^{4}\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}$$
✨ Nach Potenzregel
$$5 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4 \cdot \left(x^{2} + 3\right)^{4 - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 3\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}$$
🧹 Vereinfacht
$$5 \cdot 4 \cdot \left(x^{2} + 3\right)^{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 3\right]} - \frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}$$
Schritt 4 — Summen-/Differenzenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = x^{2}$
- $v = 3$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$5 \cdot 4 \cdot \left(x^{2} + 3\right)^{3} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 3\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$5 \cdot 4 \cdot \left(x^{2} + 3\right)^{3} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[3\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}$$
Schritt 5 — Potenzregel (Spezialfall)
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$5 \cdot 4 \cdot \left(x^{2} + 3\right)^{3} \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[3\right]}\right) - \frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$5 \cdot 4 \cdot \left(x^{2} + 3\right)^{3} \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[3\right]}\right) - \frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}$$
🧹 Vereinfacht
$$5 \cdot 4 \cdot \left(x^{2} + 3\right)^{3} \cdot \left(2\,x^{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}} + \frac{d}{dx}{\left[3\right]}\right) - \frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}$$
Schritt 6 — Konstantenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
- $c = 3$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$5 \cdot 4 \cdot \left(x^{2} + 3\right)^{3} \cdot \left(2\,x + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[3\right]}\,}}}\right) - \frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}$$
✨ Nach Konstantenregel
$$5 \cdot 4 \cdot \left(x^{2} + 3\right)^{3} \cdot \left(2\,x + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right) - \frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}$$
🧹 Vereinfacht
$$5 \cdot \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,8 \cdot \left(x^{2} + 3\right)^{3}\,x\,} - \frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}$$
Schritt 7 — Faktorregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 2$
- $u = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$5 \cdot 8 \cdot \left(x^{2} + 3\right)^{3}\,x - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Faktorregel
$$5 \cdot 8 \cdot \left(x^{2} + 3\right)^{3}\,x - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,40 \cdot \left(x^{2} + 3\right)^{3}\,x\,} - 2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
Schritt 8 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$40 \cdot \left(x^{2} + 3\right)^{3}\,x - 2 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$40 \cdot \left(x^{2} + 3\right)^{3}\,x - 2 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}$$
🧹 Vereinfacht
$$40 \cdot \left(x^{2} + 3\right)^{3}\,x - 2$$
Endergebnis
$$40 \cdot x \cdot \left(x^{2} + 3\right)^{3} - 2$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$40 \cdot \left(x^{2} + 3\right)^{3}\,x - 2$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)