Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$5\,x^{2}\,\ln\left(x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[5\,x^{2}\,\log\left(x\right)\right]}$$
Schritt 1 — Produktregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $5$
- $x^{2}$
- $\log\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[5\,x^{2}\,\log\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[5\,x^{2}\right]}\,\log\left(x\right) + 5\,x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Faktorregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 5$
- $u = x^{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[5\,x^{2}\right]}\,}}}\,\log\left(x\right) + 5\,x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Faktorregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,5\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}}\,\log\left(x\right) + 5\,x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}$$
Schritt 3 — Potenzregel (Spezialfall)
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$5 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}}\,\log\left(x\right) + 5\,x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$5 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}}\,\log\left(x\right) + 5\,x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}$$
🧹 Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,10\,x^{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}\,}\,\log\left(x\right) + 5\,x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}$$
Schritt 4 — Ableitung des Logarithmus
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\log(x)) = \frac{1}{x}$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$10\,x\,\log\left(x\right) + 5\,x^{2} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des Logarithmus
$$10\,x\,\log\left(x\right) + 5\,x^{2} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,}}}$$
Endergebnis
$$10 \cdot \log\left(x\right)\,x + 5\,x$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$10 \cdot \log\left(x\right)\,x + 5\,x$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)