Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\arcsin\left(2\,x\right) - \arccos\left(x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(2\,x\right) - \arccos\left(x\right)\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
  • $u = \arcsin\left(2\,x\right)$
  • $v = \arccos\left(x\right)$

Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(2\,x\right) - \arccos\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(2\,x\right)\right]} - \frac{d}{dx}{\left[\arccos\left(x\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Arcussinus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\arcsin\left(u\right)=\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = 2\,x$

Warum dieser Schritt? Wir unterscheiden die äußere Funktion und das innere Argument u. Zuerst leiten wir außen ab und setzen u unverändert ein. Danach multiplizieren wir mit u′. Diese innere Ableitung bleibt für einen eigenen Schritt sichtbar.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(2\,x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{\sqrt{1 - \left(2\,x\right)^{2}}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(2\,x\right)\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[\arccos\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Ableitung des Arcussinus
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{\sqrt{1 - \left(2\,x\right)^{2}}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[\arccos\left(x\right)\right]}$$
Schritt 3 — Potenz eines Produkts Vereinfachung
📖 Regel
$$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$$

Warum dieser Schritt? Jeder Faktor des Produkts wird mit dem Exponenten potenziert.

Nur der geänderte Teil: $\left(2\,x\right)^{2} \;\Longrightarrow\; 2^{2}\,x^{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{\sqrt{1 - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(2\,x\right)^{2}\,}}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]} - \frac{d}{dx}{\left[\arccos\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Potenz eines Produkts
$$\frac{1}{\sqrt{1 - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2^{2}\,x^{2}\,}}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]} - \frac{d}{dx}{\left[\arccos\left(x\right)\right]}$$
Schritt 4 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2^{2} \;\Longrightarrow\; 4$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{\sqrt{1 - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2^{2}\,}}}\,x^{2}}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]} - \frac{d}{dx}{\left[\arccos\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{1}{\sqrt{1 - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,}}}\,x^{2}}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]} - \frac{d}{dx}{\left[\arccos\left(x\right)\right]}$$
Schritt 5 — Faktorregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
  • $c = 2$
  • $u = x$

Warum dieser Schritt? Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{\sqrt{1 - 4\,x^{2}}}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[\arccos\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Faktorregel
$$\frac{1}{\sqrt{1 - 4\,x^{2}}} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[\arccos\left(x\right)\right]}$$
Schritt 6 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{\sqrt{1 - 4\,x^{2}}} \cdot 2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[\arccos\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{1}{\sqrt{1 - 4\,x^{2}}} \cdot 2 \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[\arccos\left(x\right)\right]}$$
Schritt 7 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $2 \cdot 1 \;\Longrightarrow\; 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{\sqrt{1 - 4\,x^{2}}} \cdot \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 \cdot 1\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[\arccos\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{1}{\sqrt{1 - 4\,x^{2}}} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[\arccos\left(x\right)\right]}$$
Schritt 8 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

Nur der geänderte Teil: $\frac{1}{\sqrt{1 - 4\,x^{2}}} \cdot 2 \;\Longrightarrow\; \frac{2}{\sqrt{1 - 4\,x^{2}}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{\sqrt{1 - 4\,x^{2}}} \cdot 2\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[\arccos\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{2}{\sqrt{1 - 4\,x^{2}}}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[\arccos\left(x\right)\right]}$$
Schritt 9 — Ableitung des Arcuscosinus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\arccos\left(x\right)=-\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$

Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\arccos\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; -\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2}{\sqrt{1 - 4\,x^{2}}} - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\arccos\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des Arcuscosinus
$$\frac{2}{\sqrt{1 - 4\,x^{2}}} - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\right)\,}}}$$
Schritt 10 — Minus mal Minus ergibt Plus Vereinfachung
📖 Regel
$$a-(-b)=a+b$$

Warum dieser Schritt? Wird ein negativer Ausdruck abgezogen, heben sich die beiden Minuszeichen auf.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{2}{\sqrt{1 - 4\,x^{2}}} - \left(-\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\right)\,}}}$$
✨ Nach Minus mal Minus ergibt Plus
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{2}{\sqrt{1 - 4\,x^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,}}}$$
Endergebnis
$$\frac{2}{\sqrt{1 - 4\,x^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $-1<2\,x<1$ – Die Ableitungsformel wird im Inneren des reellen Definitionsbereichs verwendet.
  • $-1<x<1$ – Die Ableitungsformel wird im Inneren des reellen Definitionsbereichs verwendet.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{2}{\sqrt{1 - 4\,x^{2}}}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt