Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\arcsin\left(\sqrt{x}\right)\,\mathrm{e}^{x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(\sqrt{x}\right)\,\mathrm{e}^{x}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Produktregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = \arcsin\left(\sqrt{x}\right)$
  • $v = \mathrm{e}^{x}$

Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(\sqrt{x}\right)\,\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(\sqrt{x}\right)\right]}\,\mathrm{e}^{x} + \arcsin\left(\sqrt{x}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Arcussinus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\arcsin\left(u\right)=\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = \sqrt{x}$

Warum dieser Schritt? Wir unterscheiden die äußere Funktion und das innere Argument u. Zuerst leiten wir außen ab und setzen u unverändert ein. Danach multiplizieren wir mit u′. Diese innere Ableitung bleibt für einen eigenen Schritt sichtbar.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(\sqrt{x}\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\sqrt{x}\right)^{2}}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(\sqrt{x}\right)\right]}\,}}}\,\mathrm{e}^{x} + \arcsin\left(\sqrt{x}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
✨ Nach Ableitung des Arcussinus
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{\sqrt{1 - \left(\sqrt{x}\right)^{2}}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}\,}}}\,\mathrm{e}^{x} + \arcsin\left(\sqrt{x}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
Schritt 3 — Ableitung der Quadratwurzel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\,\sqrt{x}}$$

Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{2\,\sqrt{x}}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{\sqrt{1 - \left(\sqrt{x}\right)^{2}}}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}\,}}}\,\mathrm{e}^{x} + \arcsin\left(\sqrt{x}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Quadratwurzel
$$\frac{1}{\sqrt{1 - \left(\sqrt{x}\right)^{2}}} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2\,\sqrt{x}}\,}}}\,\mathrm{e}^{x} + \arcsin\left(\sqrt{x}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
Schritt 4 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

Nur der geänderte Teil: $\frac{1}{\sqrt{1 - \left(\sqrt{x}\right)^{2}}} \cdot \frac{1}{2\,\sqrt{x}}\,\mathrm{e}^{x} \;\Longrightarrow\; \frac{\mathrm{e}^{x}}{\sqrt{1 - \left(\sqrt{x}\right)^{2}} \cdot 2\,\sqrt{x}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{\sqrt{1 - \left(\sqrt{x}\right)^{2}}} \cdot \frac{1}{2\,\sqrt{x}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}} + \arcsin\left(\sqrt{x}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\mathrm{e}^{x}}{\sqrt{1 - \left(\sqrt{x}\right)^{2}} \cdot 2\,\sqrt{x}}\,}}} + \arcsin\left(\sqrt{x}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
Schritt 5 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $\sqrt{1 - \left(\sqrt{x}\right)^{2}} \cdot 2\,\sqrt{x} \;\Longrightarrow\; 2\,\sqrt{x}\,\sqrt{1 - \left(\sqrt{x}\right)^{2}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}}{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sqrt{1 - \left(\sqrt{x}\right)^{2}} \cdot 2\,\sqrt{x}\,}}}} + \arcsin\left(\sqrt{x}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\frac{\mathrm{e}^{x}}{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\sqrt{x}\,\sqrt{1 - \left(\sqrt{x}\right)^{2}}\,}}}} + \arcsin\left(\sqrt{x}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
Schritt 6 — Ableitung der Exponentialfunktion Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = x$

Warum dieser Schritt? Die e-Funktion bleibt beim Ableiten erhalten. Für einen zusammengesetzten Exponenten kommt mit der Kettenregel dessen Ableitung hinzu.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}}{2\,\sqrt{x}\,\sqrt{1 - \left(\sqrt{x}\right)^{2}}} + \arcsin\left(\sqrt{x}\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\frac{\mathrm{e}^{x}}{2\,\sqrt{x}\,\sqrt{1 - \left(\sqrt{x}\right)^{2}}} + \arcsin\left(\sqrt{x}\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
Schritt 7 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}}{2\,\sqrt{x}\,\sqrt{1 - \left(\sqrt{x}\right)^{2}}} + \arcsin\left(\sqrt{x}\right)\,\mathrm{e}^{x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\mathrm{e}^{x}}{2\,\sqrt{x}\,\sqrt{1 - \left(\sqrt{x}\right)^{2}}} + \arcsin\left(\sqrt{x}\right)\,\mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}$$
Schritt 8 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $\mathrm{e}^{x} \cdot 1 \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}}{2\,\sqrt{x}\,\sqrt{1 - \left(\sqrt{x}\right)^{2}}} + \arcsin\left(\sqrt{x}\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x} \cdot 1\,}}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{\mathrm{e}^{x}}{2\,\sqrt{x}\,\sqrt{1 - \left(\sqrt{x}\right)^{2}}} + \arcsin\left(\sqrt{x}\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}$$
Endergebnis
$$\frac{\mathrm{e}^{x}}{2\,\sqrt{x}\,\sqrt{1 - \left(\sqrt{x}\right)^{2}}} + \arcsin\left(\sqrt{x}\right)\,\mathrm{e}^{x}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $x>0$ – Die angegebene Wurzelableitung gilt hier im positiven Bereich; andere reelle Zweige und Randstellen brauchen eine gesonderte Prüfung.
  • $-1<\sqrt{x}<1$ – Die Ableitungsformel wird im Inneren des reellen Definitionsbereichs verwendet.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\frac{\mathrm{e}^{x}}{2\,\sqrt{1 - x}\,\sqrt{x}} + \mathrm{e}^{x}\,\arcsin\left(\sqrt{x}\right)$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt