Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\arcsin\left(\sqrt{x}\right) \cdot \mathrm{e}^{x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(\sqrt{x}\right) \cdot \mathrm{e}^{x}\right]}$$
Schritt 1 — Produktregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = \arcsin\left(\sqrt{x}\right)$
- $v = \mathrm{e}^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(\sqrt{x}\right) \cdot \mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(\sqrt{x}\right)\right]} \cdot \mathrm{e}^{x} + \arcsin\left(\sqrt{x}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Arcussinus
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\arcsin(u))=\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$$
Mit:
- $u = \sqrt{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(\sqrt{x}\right)\right]}\,}}} \cdot \mathrm{e}^{x} + \arcsin\left(\sqrt{x}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
✨ Nach Ableitung des Arcussinus
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{\sqrt{1 - \sqrt{x}^{2}}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}\,}}} \cdot \mathrm{e}^{x} + \arcsin\left(\sqrt{x}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
Schritt 3 — Kettenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}f(u)=f'(u)\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{\sqrt{1 - \sqrt{x}^{2}}} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}\,}}} \cdot \mathrm{e}^{x} + \arcsin\left(\sqrt{x}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
✨ Nach Kettenregel
$$\frac{1}{\sqrt{1 - \sqrt{x}^{2}}} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2\,\sqrt{x}}\,}}} \cdot \mathrm{e}^{x} + \arcsin\left(\sqrt{x}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
Schritt 4 — Ableitung der Exponentialfunktion
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{\sqrt{1 - \sqrt{x}^{2}}} \cdot \frac{1}{2\,\sqrt{x}} \cdot \mathrm{e}^{x} + \arcsin\left(\sqrt{x}\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\frac{1}{\sqrt{1 - \sqrt{x}^{2}}} \cdot \frac{1}{2\,\sqrt{x}} \cdot \mathrm{e}^{x} + \arcsin\left(\sqrt{x}\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\ln\left(\mathrm{e}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{1}{\sqrt{1 - \sqrt{x}^{2}}} \cdot \frac{1}{2\,\sqrt{x}} \cdot \mathrm{e}^{x} + \arcsin\left(\sqrt{x}\right) \cdot \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
Schritt 5 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{\sqrt{1 - \sqrt{x}^{2}}} \cdot \frac{1}{2\,\sqrt{x}} \cdot \mathrm{e}^{x} + \arcsin\left(\sqrt{x}\right) \cdot \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{1}{\sqrt{1 - \sqrt{x}^{2}}} \cdot \frac{1}{2\,\sqrt{x}} \cdot \mathrm{e}^{x} + \arcsin\left(\sqrt{x}\right) \cdot \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{1}{\sqrt{1 - \sqrt{x}^{2}}} \cdot \frac{1}{2\,\sqrt{x}} \cdot \mathrm{e}^{x} + \arcsin\left(\sqrt{x}\right) \cdot \mathrm{e}^{x}$$
Endergebnis
$$\frac{\frac{1}{\sqrt{1 - \sqrt{x}^{2}}} \cdot 1}{2\,\sqrt{x}} \cdot \mathrm{e}^{x} + \arcsin\left(\sqrt{x}\right) \cdot \mathrm{e}^{x}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\frac{\mathrm{e}^{x}}{2 \cdot \sqrt{x}\,\sqrt{1 - x}} + \mathrm{e}^{x}\,\arcsin\left(\sqrt{x}\right)$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)