Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\arcsin\left(x\right) + \arccos\left(x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(x\right) + \arccos\left(x\right)\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
  • $u = \arcsin\left(x\right)$
  • $v = \arccos\left(x\right)$

Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(x\right) + \arccos\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(x\right)\right]} + \frac{d}{dx}{\left[\arccos\left(x\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Arcussinus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\arcsin\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$

Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(x\right)\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[\arccos\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Ableitung des Arcussinus
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[\arccos\left(x\right)\right]}$$
Schritt 3 — Ableitung des Arcuscosinus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\arccos\left(x\right)=-\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$

Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\arccos\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; -\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\arccos\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des Arcuscosinus
$$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\right)\,}}}$$
Schritt 4 — Plus und Minus zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a+(-b)=a-b$$

Warum dieser Schritt? Das Addieren eines negativen Ausdrucks ist dasselbe wie das Subtrahieren des positiven Ausdrucks.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \left(-\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\right)\,}}}$$
✨ Nach Plus und Minus zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,}}}$$
Schritt 5 — Gleiche Terme subtrahieren Vereinfachung
📖 Regel
$$a-a=0$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck minus derselbe Ausdruck ergibt 0. Die Bedingungen der ursprünglichen Funktion bleiben bestehen.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,}}}$$
✨ Nach Gleiche Terme subtrahieren
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}$$
Endergebnis
$$0$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $-1<x<1$ – Die Ableitungsformel wird im Inneren des reellen Definitionsbereichs verwendet.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$0$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt