Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\arcsin\left(x\right)\,x$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(x\right)\,x\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Produktregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = \arcsin\left(x\right)$
  • $v = x$

Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(x\right)\,x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(x\right)\right]}\,x + \arcsin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Arcussinus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\arcsin\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$

Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(x\right)\right]}\,}}}\,x + \arcsin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
✨ Nach Ableitung des Arcussinus
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,}}}\,x + \arcsin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
Schritt 3 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

Nur der geänderte Teil: $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,x \;\Longrightarrow\; \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,x\,}}} + \arcsin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,}}} + \arcsin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin\left(x\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin\left(x\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}$$
Schritt 5 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $\arcsin\left(x\right) \cdot 1 \;\Longrightarrow\; \arcsin\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\arcsin\left(x\right) \cdot 1\,}}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\arcsin\left(x\right)\,}}}$$
Endergebnis
$$\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin\left(x\right)$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $-1<x<1$ – Die Ableitungsformel wird im Inneren des reellen Definitionsbereichs verwendet.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\arcsin\left(x\right) + \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt