Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\arctan\left(2\,x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(2\,x\right)\right]}$$
Schritt 1 — Ableitung des Arcustangens
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\arctan(u))=\frac{u'}{1+u^2}$$
Mit:
- $u = 2\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(2\,x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des Arcustangens
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{1 + \left(2\,x\right)^{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Faktorregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 2$
- $u = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{1 + \left(2\,x\right)^{2}} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Faktorregel
$$\frac{1}{1 + \left(2\,x\right)^{2}} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
Schritt 3 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{1 + \left(2\,x\right)^{2}} \cdot 2 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{1}{1 + \left(2\,x\right)^{2}} \cdot 2 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 \cdot \frac{1}{1 + \left(2\,x\right)^{2}}\,}$$
Endergebnis
$$\frac{2}{4\,x^{2} + 1}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\frac{2}{4\,x^{2} + 1}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)