Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\arctan\left(2\,x\right)\,\cos\left(3\,x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(2\,x\right)\,\cos\left(3\,x\right)\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Produktregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = \arctan\left(2\,x\right)$
  • $v = \cos\left(3\,x\right)$

Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(2\,x\right)\,\cos\left(3\,x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(2\,x\right)\right]}\,\cos\left(3\,x\right) + \arctan\left(2\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(3\,x\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Arcustangens Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\arctan\left(u\right)=\frac{1}{1 + u^{2}}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = 2\,x$

Warum dieser Schritt? Wir unterscheiden die äußere Funktion und das innere Argument u. Zuerst leiten wir außen ab und setzen u unverändert ein. Danach multiplizieren wir mit u′. Diese innere Ableitung bleibt für einen eigenen Schritt sichtbar.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(2\,x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{1 + \left(2\,x\right)^{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(2\,x\right)\right]}\,}}}\,\cos\left(3\,x\right) + \arctan\left(2\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(3\,x\right)\right]}$$
✨ Nach Ableitung des Arcustangens
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{1 + \left(2\,x\right)^{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,}}}\,\cos\left(3\,x\right) + \arctan\left(2\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(3\,x\right)\right]}$$
Schritt 3 — Potenz eines Produkts Vereinfachung
📖 Regel
$$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$$

Warum dieser Schritt? Jeder Faktor des Produkts wird mit dem Exponenten potenziert.

Nur der geänderte Teil: $\left(2\,x\right)^{2} \;\Longrightarrow\; 2^{2}\,x^{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{1 + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(2\,x\right)^{2}\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,\cos\left(3\,x\right) + \arctan\left(2\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(3\,x\right)\right]}$$
✨ Nach Potenz eines Produkts
$$\frac{1}{1 + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2^{2}\,x^{2}\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,\cos\left(3\,x\right) + \arctan\left(2\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(3\,x\right)\right]}$$
Schritt 4 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2^{2} \;\Longrightarrow\; 4$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{1 + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2^{2}\,}}}\,x^{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,\cos\left(3\,x\right) + \arctan\left(2\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(3\,x\right)\right]}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{1}{1 + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,}}}\,x^{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,\cos\left(3\,x\right) + \arctan\left(2\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(3\,x\right)\right]}$$
Schritt 5 — Faktorregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
  • $c = 2$
  • $u = x$

Warum dieser Schritt? Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{1 + 4\,x^{2}}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,}}}\,\cos\left(3\,x\right) + \arctan\left(2\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(3\,x\right)\right]}$$
✨ Nach Faktorregel
$$\frac{1}{1 + 4\,x^{2}} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\cos\left(3\,x\right) + \arctan\left(2\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(3\,x\right)\right]}$$
Schritt 6 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{1 + 4\,x^{2}} \cdot 2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\cos\left(3\,x\right) + \arctan\left(2\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(3\,x\right)\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{1}{1 + 4\,x^{2}} \cdot 2 \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\cos\left(3\,x\right) + \arctan\left(2\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(3\,x\right)\right]}$$
Schritt 7 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $2 \cdot 1 \;\Longrightarrow\; 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{1 + 4\,x^{2}} \cdot \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 \cdot 1\,}}}\,\cos\left(3\,x\right) + \arctan\left(2\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(3\,x\right)\right]}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{1}{1 + 4\,x^{2}} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}}\,\cos\left(3\,x\right) + \arctan\left(2\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(3\,x\right)\right]}$$
Schritt 8 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

Nur der geänderte Teil: $\frac{1}{1 + 4\,x^{2}} \cdot 2\,\cos\left(3\,x\right) \;\Longrightarrow\; \frac{2\,\cos\left(3\,x\right)}{1 + 4\,x^{2}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{1 + 4\,x^{2}} \cdot 2\,\cos\left(3\,x\right)\,}}} + \arctan\left(2\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(3\,x\right)\right]}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{2\,\cos\left(3\,x\right)}{1 + 4\,x^{2}}\,}}} + \arctan\left(2\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(3\,x\right)\right]}$$
Schritt 9 — Ableitung des Kosinus (Kettenregel) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\cos\left(u\right)=-\sin\left(u\right)\cdot u'$$
Mit:
  • $u = 3\,x$

Warum dieser Schritt? Wir unterscheiden die äußere Funktion und das innere Argument u. Zuerst leiten wir außen ab und setzen u unverändert ein. Danach multiplizieren wir mit u′. Diese innere Ableitung bleibt für einen eigenen Schritt sichtbar.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(3\,x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; -\sin\left(3\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[3\,x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,\cos\left(3\,x\right)}{1 + 4\,x^{2}} + \arctan\left(2\,x\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(3\,x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des Kosinus (Kettenregel)
$$\frac{2\,\cos\left(3\,x\right)}{1 + 4\,x^{2}} + \arctan\left(2\,x\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\sin\left(3\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[3\,x\right]}\right)\,}}}$$
Schritt 10 — Faktorregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
  • $c = 3$
  • $u = x$

Warum dieser Schritt? Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[3\,x\right]} \;\Longrightarrow\; 3\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,\cos\left(3\,x\right)}{1 + 4\,x^{2}} + \arctan\left(2\,x\right)\,\left(-\sin\left(3\,x\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[3\,x\right]}\,}}}\right)$$
✨ Nach Faktorregel
$$\frac{2\,\cos\left(3\,x\right)}{1 + 4\,x^{2}} + \arctan\left(2\,x\right)\,\left(-\sin\left(3\,x\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\right)$$
Schritt 11 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,\cos\left(3\,x\right)}{1 + 4\,x^{2}} + \arctan\left(2\,x\right)\,\left(-\sin\left(3\,x\right) \cdot 3\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\right)$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{2\,\cos\left(3\,x\right)}{1 + 4\,x^{2}} + \arctan\left(2\,x\right)\,\left(-\sin\left(3\,x\right) \cdot 3 \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\right)$$
Schritt 12 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $3 \cdot 1 \;\Longrightarrow\; 3$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,\cos\left(3\,x\right)}{1 + 4\,x^{2}} + \arctan\left(2\,x\right)\,\left(-\sin\left(3\,x\right) \cdot \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3 \cdot 1\,}}}\right)$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{2\,\cos\left(3\,x\right)}{1 + 4\,x^{2}} + \arctan\left(2\,x\right)\,\left(-\sin\left(3\,x\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,}}}\right)$$
Schritt 13 — Vorzeichen des Produkts bestimmen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(-b)=-(a\cdot b),\quad (-a)\cdot(-b)=a\cdot b$$

Warum dieser Schritt? Wir ziehen die Minuszeichen der Faktoren vor das Produkt. Eine gerade Anzahl von Minuszeichen ergibt Plus, eine ungerade Minus.

Nur der geänderte Teil: $\arctan\left(2\,x\right)\,\left(-\sin\left(3\,x\right) \cdot 3\right) \;\Longrightarrow\; -\arctan\left(2\,x\right)\,\sin\left(3\,x\right) \cdot 3$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,\cos\left(3\,x\right)}{1 + 4\,x^{2}} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\arctan\left(2\,x\right)\,\left(-\sin\left(3\,x\right) \cdot 3\right)\,}}}$$
✨ Nach Vorzeichen des Produkts bestimmen
$$\frac{2\,\cos\left(3\,x\right)}{1 + 4\,x^{2}} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\arctan\left(2\,x\right)\,\sin\left(3\,x\right) \cdot 3\right)\,}}}$$
Schritt 14 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $-\arctan\left(2\,x\right)\,\sin\left(3\,x\right) \cdot 3 \;\Longrightarrow\; -3\,\arctan\left(2\,x\right)\,\sin\left(3\,x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,\cos\left(3\,x\right)}{1 + 4\,x^{2}} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\arctan\left(2\,x\right)\,\sin\left(3\,x\right) \cdot 3\right)\,}}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\frac{2\,\cos\left(3\,x\right)}{1 + 4\,x^{2}} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-3\,\arctan\left(2\,x\right)\,\sin\left(3\,x\right)\right)\,}}}$$
Schritt 15 — Plus und Minus zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a+(-b)=a-b$$

Warum dieser Schritt? Das Addieren eines negativen Ausdrucks ist dasselbe wie das Subtrahieren des positiven Ausdrucks.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{2\,\cos\left(3\,x\right)}{1 + 4\,x^{2}} + \left(-3\,\arctan\left(2\,x\right)\,\sin\left(3\,x\right)\right)\,}}}$$
✨ Nach Plus und Minus zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{2\,\cos\left(3\,x\right)}{1 + 4\,x^{2}} - 3\,\arctan\left(2\,x\right)\,\sin\left(3\,x\right)\,}}}$$
Endergebnis
$$\frac{2\,\cos\left(3\,x\right)}{1 + 4\,x^{2}} - 3\,\arctan\left(2\,x\right)\,\sin\left(3\,x\right)$$
Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\frac{2\,\cos\left(3\,x\right)}{4\,x^{2} + 1} - 3\,\arctan\left(2\,x\right)\,\sin\left(3\,x\right)$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt