Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\arctan\left(x\right) \cdot \mathrm{e}^{x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\,\arctan\left(x\right)\right]}$$
Schritt 1 — Produktregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = \mathrm{e}^{x}$
- $v = \arctan\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\,\arctan\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,\arctan\left(x\right) + \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Exponentialfunktion
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}\,\arctan\left(x\right) + \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\ln\left(\mathrm{e}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\arctan\left(x\right) + \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x\right)\right]}$$
🧹 Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,\arctan\left(x\right) + \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x\right)\right]}$$
Schritt 3 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\arctan\left(x\right) + \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\arctan\left(x\right) + \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x\right)\right]}$$
🧹 Vereinfacht
$$\mathrm{e}^{x}\,\arctan\left(x\right) + \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x\right)\right]}$$
Schritt 4 — Ableitung des Arcustangens
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\arctan(x))=\frac{1}{1+x^2}$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x}\,\arctan\left(x\right) + \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des Arcustangens
$$\mathrm{e}^{x}\,\arctan\left(x\right) + \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{1 + x^{2}}\,}}}$$
Endergebnis
$$\mathrm{e}^{x}\,\arctan\left(x\right) + \frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{2} + 1}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\mathrm{e}^{x}\,\arctan\left(x\right) + \frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{2} + 1}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)