Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{\cos\left(2\,x\right)}{\mathrm{e}^{x}}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\,\cos\left(2\,x\right)\right]}$$
Schritt 1 — Produktregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = \mathrm{e}^{-x}$
- $v = \cos\left(2\,x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\,\cos\left(2\,x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}\,\cos\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(2\,x\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Exponentialfunktion
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = -x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}\,}}}\,\cos\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(2\,x\right)\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{-x}\,\ln\left(\mathrm{e}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[-x\right]}\,}}}\,\cos\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(2\,x\right)\right]}$$
🧹 Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{-x}\,}\,\frac{d}{dx}{\left[-x\right]}\,\cos\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(2\,x\right)\right]}$$
Schritt 3 — Ableitung eines negativen Terms
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(-u) = -u'$$
Mit:
- $u = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{-x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[-x\right]}\,}}}\,\cos\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(2\,x\right)\right]}$$
✨ Nach Ableitung eines negativen Terms
$$\mathrm{e}^{-x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\cos\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(2\,x\right)\right]}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{-x}\,\left(-\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\right)\,\cos\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(2\,x\right)\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\mathrm{e}^{-x}\,\left(-\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\right)\,\cos\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(2\,x\right)\right]}$$
🧹 Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\mathrm{e}^{-x}\,}\,\cos\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(2\,x\right)\right]}$$
Schritt 5 — Ableitung des Kosinus (Kettenregel)
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\cos(u)) = -\sin(u) \cdot u'$$
Mit:
- $u = 2\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\mathrm{e}^{-x}\,\cos\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(2\,x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des Kosinus (Kettenregel)
$$-\mathrm{e}^{-x}\,\cos\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(2\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,}}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\mathrm{e}^{-x}\,\cos\left(2\,x\right)\,} + \mathrm{e}^{-x} \cdot -\sin\left(2\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}$$
Schritt 6 — Faktorregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 2$
- $u = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\mathrm{e}^{-x}\,\cos\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x} \cdot -\sin\left(2\,x\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Faktorregel
$$-\mathrm{e}^{-x}\,\cos\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x} \cdot -\sin\left(2\,x\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
Schritt 7 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\mathrm{e}^{-x}\,\cos\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x} \cdot -\sin\left(2\,x\right) \cdot 2 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$-\mathrm{e}^{-x}\,\cos\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x} \cdot -\sin\left(2\,x\right) \cdot 2 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}$$
🧹 Vereinfacht
$$-\mathrm{e}^{-x}\,\cos\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x} \cdot \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-2\,\sin\left(2\,x\right)\,}$$
Endergebnis
$$-2 \cdot \sin\left(2\,x\right) \cdot \mathrm{e}^{-x} - \mathrm{e}^{-x}\,\cos\left(2\,x\right)$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$-2 \cdot \sin\left(2\,x\right) \cdot \mathrm{e}^{-x} - \mathrm{e}^{-x}\,\cos\left(2\,x\right)$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)