Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{\cos\left(2\,x\right)}{\sin\left(x\right)}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{\cos\left(2\,x\right)}{\sin\left(x\right)}\right]}$$
Schritt 1 — Quotientenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = \cos\left(2\,x\right)$
- $v = \sin\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{\cos\left(2\,x\right)}{\sin\left(x\right)}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(2\,x\right)\right]}\,\sin\left(x\right) - \cos\left(2\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}}{\sin\left(x\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Kosinus (Kettenregel)
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\cos(u)) = -\sin(u) \cdot u'$$
Mit:
- $u = 2\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(2\,x\right)\right]}\,}}}\,\sin\left(x\right) - \cos\left(2\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}}{\sin\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung des Kosinus (Kettenregel)
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(2\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,}}}\,\sin\left(x\right) - \cos\left(2\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}}{\sin\left(x\right)^{2}}$$
Schritt 3 — Faktorregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 2$
- $u = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{-\sin\left(2\,x\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,}}}\,\sin\left(x\right) - \cos\left(2\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}}{\sin\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktorregel
$$\frac{-\sin\left(2\,x\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\sin\left(x\right) - \cos\left(2\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}}{\sin\left(x\right)^{2}}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{-\sin\left(2\,x\right) \cdot 2 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\sin\left(x\right) - \cos\left(2\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}}{\sin\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{-\sin\left(2\,x\right) \cdot 2 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\sin\left(x\right) - \cos\left(2\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}}{\sin\left(x\right)^{2}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-2\,\sin\left(2\,x\right)\,}\,\sin\left(x\right) - \cos\left(2\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}}{\sin\left(x\right)^{2}}$$
Schritt 5 — Ableitung des Sinus
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{-2\,\sin\left(2\,x\right)\,\sin\left(x\right) - \cos\left(2\,x\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,}}}}{\sin\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung des Sinus
$$\frac{-2\,\sin\left(2\,x\right)\,\sin\left(x\right) - \cos\left(2\,x\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,}}}}{\sin\left(x\right)^{2}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-2\,\sin\left(2\,x\right)\,\sin\left(x\right)\,} - \cos\left(2\,x\right)\,\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)^{2}}$$
Endergebnis
$$\frac{-2 \cdot \sin\left(x\right)\,\sin\left(2\,x\right) - \cos\left(2\,x\right)\,\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)^{2}}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$-\frac{2\,\sin\left(2\,x\right)}{\sin\left(x\right)} - \frac{\cos\left(x\right)\,\cos\left(2\,x\right)}{\sin\left(x\right)^{2}}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)