Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,x$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,x\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Produktregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = \cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)$
  • $v = x$

Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\right]}\,x + \cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Kosinus (Kettenregel) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\cos\left(u\right)=-\sin\left(u\right)\cdot u'$$
Mit:
  • $u = \mathrm{e}^{x}$

Warum dieser Schritt? Wir unterscheiden die äußere Funktion und das innere Argument u. Zuerst leiten wir außen ab und setzen u unverändert ein. Danach multiplizieren wir mit u′. Diese innere Ableitung bleibt für einen eigenen Schritt sichtbar.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\right]} \;\Longrightarrow\; -\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\right]}\,}}}\,x + \cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
✨ Nach Ableitung des Kosinus (Kettenregel)
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}\,x + \cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
Schritt 3 — Ableitung der Exponentialfunktion Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = x$

Warum dieser Schritt? Die e-Funktion bleibt beim Ableiten erhalten. Für einen zusammengesetzten Exponenten kommt mit der Kettenregel dessen Ableitung hinzu.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}\,x + \cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$-\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,x + \cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,\mathrm{e}^{x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,x + \cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$-\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,\mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,x + \cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
Schritt 5 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $\mathrm{e}^{x} \cdot 1 \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x} \cdot 1\,}}}\,x + \cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$-\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}\,x + \cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
Schritt 6 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $-\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,\mathrm{e}^{x}\,x \;\Longrightarrow\; -x\,\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,\mathrm{e}^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,\mathrm{e}^{x}\,x\,}}} + \cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-x\,\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,\mathrm{e}^{x}\,}}} + \cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
Schritt 7 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-x\,\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,\mathrm{e}^{x} + \cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$-x\,\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,\mathrm{e}^{x} + \cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}$$
Schritt 8 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) \cdot 1 \;\Longrightarrow\; \cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-x\,\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,\mathrm{e}^{x} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) \cdot 1\,}}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$-x\,\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,\mathrm{e}^{x} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,}}}$$
Endergebnis
$$-x\,\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,\mathrm{e}^{x} + \cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)$$
Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) - \mathrm{e}^{x}\,\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,x$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt