Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\mathrm{e}^{2\,x} + \cos\left(3\,x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(3\,x\right) + \mathrm{e}^{2\,x}\right]}$$
Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = \cos\left(3\,x\right)$
- $v = \mathrm{e}^{2\,x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(3\,x\right) + \mathrm{e}^{2\,x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(3\,x\right)\right]} + \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Kosinus (Kettenregel)
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\cos(u)) = -\sin(u) \cdot u'$$
Mit:
- $u = 3\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(3\,x\right)\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x}\right]}$$
✨ Nach Ableitung des Kosinus (Kettenregel)
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(3\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[3\,x\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x}\right]}$$
Schritt 3 — Faktorregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 3$
- $u = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\sin\left(3\,x\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[3\,x\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x}\right]}$$
✨ Nach Faktorregel
$$-\sin\left(3\,x\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x}\right]}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\sin\left(3\,x\right) \cdot 3 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x}\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$-\sin\left(3\,x\right) \cdot 3 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x}\right]}$$
🧹 Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-3\,\sin\left(3\,x\right)\,} + \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x}\right]}$$
Schritt 5 — Ableitung der Exponentialfunktion
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = 2\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-3\,\sin\left(3\,x\right) + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$-3\,\sin\left(3\,x\right) + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{2\,x}\,\ln\left(\mathrm{e}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,}}}$$
🧹 Vereinfacht
$$-3\,\sin\left(3\,x\right) + \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{2\,x}\,}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}$$
Schritt 6 — Faktorregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 2$
- $u = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-3\,\sin\left(3\,x\right) + \mathrm{e}^{2\,x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Faktorregel
$$-3\,\sin\left(3\,x\right) + \mathrm{e}^{2\,x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
Schritt 7 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-3\,\sin\left(3\,x\right) + \mathrm{e}^{2\,x} \cdot 2 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$-3\,\sin\left(3\,x\right) + \mathrm{e}^{2\,x} \cdot 2 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}$$
🧹 Vereinfacht
$$-3\,\sin\left(3\,x\right) + \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 \cdot \mathrm{e}^{2\,x}\,}$$
Endergebnis
$$2 \cdot \mathrm{e}^{2\,x} - 3\,\sin\left(3\,x\right)$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$2 \cdot \mathrm{e}^{2\,x} - 3\,\sin\left(3\,x\right)$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)