Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{\mathrm{e}^{2\,x}}{x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{\mathrm{e}^{2\,x}}{x}\right]}$$
Schritt 1 — Quotientenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = \mathrm{e}^{2\,x}$
- $v = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{\mathrm{e}^{2\,x}}{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x}\right]}\,x - \mathrm{e}^{2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Exponentialfunktion
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = 2\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x}\right]}\,}}}\,x - \mathrm{e}^{2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{2\,x}\,\ln\left(\mathrm{e}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,}}}\,x - \mathrm{e}^{2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x^{2}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{2\,x}\,}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,x - \mathrm{e}^{2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x^{2}}$$
Schritt 3 — Faktorregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 2$
- $u = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{2\,x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,}}}\,x - \mathrm{e}^{2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x^{2}}$$
✨ Nach Faktorregel
$$\frac{\mathrm{e}^{2\,x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,x - \mathrm{e}^{2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x^{2}}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{2\,x} \cdot 2 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,x - \mathrm{e}^{2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\mathrm{e}^{2\,x} \cdot 2 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,x - \mathrm{e}^{2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x^{2}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 \cdot \mathrm{e}^{2\,x}\,}\,x - \mathrm{e}^{2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x^{2}}$$
Schritt 5 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2 \cdot \mathrm{e}^{2\,x}\,x - \mathrm{e}^{2\,x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}}{x^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{2 \cdot \mathrm{e}^{2\,x}\,x - \mathrm{e}^{2\,x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}{x^{2}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x \cdot \mathrm{e}^{2\,x}\,} - \mathrm{e}^{2\,x}}{x^{2}}$$
Endergebnis
$$\frac{\mathrm{e}^{2\,x}\,\left(2\,x - 1\right)}{x^{2}}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\frac{2 \cdot \mathrm{e}^{2\,x}}{x} - \frac{\mathrm{e}^{2\,x}}{x^{2}}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)