Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\mathrm{e}^{2\,x}\,\sin\left(x^{2}\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x}\,\sin\left(x^{2}\right)\right]}$$
Schritt 1 — Produktregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = \mathrm{e}^{2\,x}$
- $v = \sin\left(x^{2}\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x}\,\sin\left(x^{2}\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x}\right]}\,\sin\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x^{2}\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Exponentialfunktion
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = 2\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x}\right]}\,}}}\,\sin\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x^{2}\right)\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{2\,x}\,\ln\left(\mathrm{e}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,}}}\,\sin\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x^{2}\right)\right]}$$
🧹 Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{2\,x}\,}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,\sin\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x^{2}\right)\right]}$$
Schritt 3 — Faktorregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 2$
- $u = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{2\,x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,}}}\,\sin\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x^{2}\right)\right]}$$
✨ Nach Faktorregel
$$\mathrm{e}^{2\,x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\sin\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x^{2}\right)\right]}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{2\,x} \cdot 2 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\sin\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x^{2}\right)\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\mathrm{e}^{2\,x} \cdot 2 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\sin\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x^{2}\right)\right]}$$
🧹 Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 \cdot \mathrm{e}^{2\,x}\,}\,\sin\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x^{2}\right)\right]}$$
Schritt 5 — Ableitung des Sinus (Kettenregel)
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\sin(u)) = \cos(u) \cdot u'$$
Mit:
- $u = x^{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2 \cdot \mathrm{e}^{2\,x}\,\sin\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{2\,x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x^{2}\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des Sinus (Kettenregel)
$$2 \cdot \mathrm{e}^{2\,x}\,\sin\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{2\,x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x^{2}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}}$$
Schritt 6 — Potenzregel (Spezialfall)
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2 \cdot \mathrm{e}^{2\,x}\,\sin\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{2\,x} \cdot \cos\left(x^{2}\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$2 \cdot \mathrm{e}^{2\,x}\,\sin\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{2\,x} \cdot \cos\left(x^{2}\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}}$$
🧹 Vereinfacht
$$2 \cdot \mathrm{e}^{2\,x}\,\sin\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{2\,x} \cdot \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\cos\left(x^{2}\right)\,x^{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}\,}$$
Endergebnis
$$2 \cdot \left(\sin\left(x^{2}\right) + x\,\cos\left(x^{2}\right)\right) \cdot \mathrm{e}^{2\,x}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$2 \cdot \sin\left(x^{2}\right) \cdot \mathrm{e}^{2\,x} + 2 \cdot \cos\left(x^{2}\right)\,x \cdot \mathrm{e}^{2\,x}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)