Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\mathrm{e}^{x}\,\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\,\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right)\right]}$$
Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.
Schritt 1 — Produktregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = \mathrm{e}^{x}$
- $v = \sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)$
Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\,\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right) + \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Exponentialfunktion
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
Warum dieser Schritt? Die e-Funktion bleibt beim Ableiten erhalten. Für einen zusammengesetzten Exponenten kommt mit der Kettenregel dessen Ableitung hinzu.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}\,\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right) + \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right) + \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right]}$$
Schritt 3 — Ableitung der Variablen
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right) + \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right) + \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right]}$$
Schritt 4 — Faktor 1 entfernen
Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$
Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.
Nur der geänderte Teil:
$\mathrm{e}^{x} \cdot 1 \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x} \cdot 1\,}}}\,\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right) + \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}\,\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right) + \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right]}$$
Schritt 5 — Summen-/Differenzenregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = \sin\left(x\right)$
- $v = \cos\left(x\right)$
Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]} + \frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x}\,\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right) + \mathrm{e}^{x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\mathrm{e}^{x}\,\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right) + \mathrm{e}^{x}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]} + \frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}\right)\,}}}$$
Schritt 6 — Ableitung des Sinus
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\sin\left(x\right)=\cos\left(x\right)$$
Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \cos\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x}\,\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right) + \mathrm{e}^{x}\,\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}\right)$$
✨ Nach Ableitung des Sinus
$$\mathrm{e}^{x}\,\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right) + \mathrm{e}^{x}\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}\right)$$
Schritt 7 — Ableitung des Kosinus
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\cos\left(x\right)=-\sin\left(x\right)$$
Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; -\sin\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x}\,\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right) + \mathrm{e}^{x}\,\left(\cos\left(x\right) + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}\,}}}\right)$$
✨ Nach Ableitung des Kosinus
$$\mathrm{e}^{x}\,\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right) + \mathrm{e}^{x}\,\left(\cos\left(x\right) + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\sin\left(x\right)\right)\,}}}\right)$$
Schritt 8 — Plus und Minus zusammenfassen
Vereinfachung
📖 Regel
$$a+(-b)=a-b$$
Warum dieser Schritt? Das Addieren eines negativen Ausdrucks ist dasselbe wie das Subtrahieren des positiven Ausdrucks.
Nur der geänderte Teil:
$\cos\left(x\right) + \left(-\sin\left(x\right)\right) \;\Longrightarrow\; \cos\left(x\right) - \sin\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x}\,\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right) + \mathrm{e}^{x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\cos\left(x\right) + \left(-\sin\left(x\right)\right)\right)\,}}}$$
✨ Nach Plus und Minus zusammenfassen
$$\mathrm{e}^{x}\,\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right) + \mathrm{e}^{x}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\cos\left(x\right) - \sin\left(x\right)\right)\,}}}$$
Schritt 9 — Ausmultiplizieren
Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$$
Warum dieser Schritt? Mit dem Distributivgesetz multiplizieren wir jeden Summanden der Klammer mit den übrigen Faktoren. Danach können gleichartige Terme zusammengefasst werden.
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right) + \mathrm{e}^{x}\,\left(\cos\left(x\right) - \sin\left(x\right)\right)\,}}}$$
✨ Nach Ausmultiplizieren
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\sin\left(x\right) + \mathrm{e}^{x}\,\cos\left(x\right) + \mathrm{e}^{x}\,\left(\cos\left(x\right) - \sin\left(x\right)\right)\,}}}$$
Schritt 10 — Ausmultiplizieren
Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$$
Warum dieser Schritt? Mit dem Distributivgesetz multiplizieren wir jeden Summanden der Klammer mit den übrigen Faktoren. Danach können gleichartige Terme zusammengefasst werden.
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\sin\left(x\right) + \mathrm{e}^{x}\,\cos\left(x\right) + \mathrm{e}^{x}\,\left(\cos\left(x\right) - \sin\left(x\right)\right)\,}}}$$
✨ Nach Ausmultiplizieren
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\sin\left(x\right) + \mathrm{e}^{x}\,\cos\left(x\right) + \mathrm{e}^{x}\,\cos\left(x\right) - \mathrm{e}^{x}\,\sin\left(x\right)\,}}}$$
Schritt 11 — Entgegengesetzte Terme heben sich auf
Vereinfachung
📖 Regel
$$u-u=0$$
Warum dieser Schritt? Derselbe Term kommt einmal mit Plus und einmal mit Minus vor. Zusammen ergeben sie 0, deshalb fallen beide weg.
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\sin\left(x\right) + \mathrm{e}^{x}\,\cos\left(x\right) + \mathrm{e}^{x}\,\cos\left(x\right) - \mathrm{e}^{x}\,\sin\left(x\right)\,}}}$$
✨ Nach Entgegengesetzte Terme heben sich auf
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\cos\left(x\right) + \mathrm{e}^{x}\,\cos\left(x\right)\,}}}$$
Schritt 12 — Gleichartige Terme zusammenfassen
Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot u\pm b\cdot u=(a\pm b)\cdot u$$
Warum dieser Schritt? Beide Summanden haben denselben variablen Teil. Wir klammern ihn aus und schreiben die Summe oder Differenz der Zahlenfaktoren davor. Diese Zahlenrechnung folgt im nächsten Schritt.
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\cos\left(x\right) + \mathrm{e}^{x}\,\cos\left(x\right)\,}}}$$
✨ Nach Gleichartige Terme zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(1 + 1\right)\,\mathrm{e}^{x}\,\cos\left(x\right)\,}}}$$
Schritt 13 — Zahlen ausrechnen
Vereinfachung
📖 Regel
Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
Nur der geänderte Teil:
$1 + 1 \;\Longrightarrow\; 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(1 + 1\right)\,}}}\,\mathrm{e}^{x}\,\cos\left(x\right)$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}}\,\mathrm{e}^{x}\,\cos\left(x\right)$$
Endergebnis
$$2\,\mathrm{e}^{x}\,\cos\left(x\right)$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\mathrm{e}^{x}\,\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right) + \mathrm{e}^{x}\,\left(\cos\left(x\right) - \sin\left(x\right)\right)$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt