Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{\mathrm{e}^{x^{2}}}{\mathrm{e}^{x}}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{\mathrm{e}^{x^{2}}}{\mathrm{e}^{x}}\right]}$$
Schritt 1 — Quotientenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = \mathrm{e}^{x^{2}}$
- $v = \mathrm{e}^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{\mathrm{e}^{x^{2}}}{\mathrm{e}^{x}}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x^{2}}\right]} \cdot \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{x^{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Exponentialfunktion
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x^{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x^{2}}\right]}\,}}} \cdot \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{x^{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x^{2}}\,\ln\left(\mathrm{e}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}} \cdot \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{x^{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x^{2}}\,}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \cdot \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{x^{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
Schritt 3 — Potenzregel (Spezialfall)
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x^{2}} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}} \cdot \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{x^{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\frac{\mathrm{e}^{x^{2}} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}} \cdot \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{x^{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 \cdot \mathrm{e}^{x^{2}}\,x^{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}\,} \cdot \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{x^{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
Schritt 4 — Ableitung der Exponentialfunktion
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2 \cdot \mathrm{e}^{x^{2}}\,x \cdot \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{x^{2}} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\frac{2 \cdot \mathrm{e}^{x^{2}}\,x \cdot \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{x^{2}} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\ln\left(\mathrm{e}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x \cdot \mathrm{e}^{x^{2}}\,} \cdot \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{x^{2}} \cdot \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
Schritt 5 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,x \cdot \mathrm{e}^{x^{2}} \cdot \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{x^{2}} \cdot \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{2\,x \cdot \mathrm{e}^{x^{2}} \cdot \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{x^{2}} \cdot \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{2\,x \cdot \mathrm{e}^{x^{2}} \cdot \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{x^{2}} \cdot \mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
Endergebnis
$$\mathrm{e}^{x^{2} - x}\,\left(2\,x - 1\right)$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\mathrm{e}^{x^{2} - x}\,\left(2\,x - 1\right)$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)