Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x} + 1}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x} + 1}\right]}$$
Schritt 1 — Quotientenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = \mathrm{e}^{x}$
- $v = \mathrm{e}^{x} + 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x} + 1}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x} + 1\right]}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Exponentialfunktion
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x} + 1\right]}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\ln\left(\mathrm{e}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x} + 1\right]}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x} + 1\right]}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 3 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x} + 1\right]}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x} + 1\right]}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x} + 1\right]}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 4 — Summen-/Differenzenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = \mathrm{e}^{x}$
- $v = 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x} + 1\right]}\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 5 — Ableitung der Exponentialfunktion
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x} \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x} \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\ln\left(\mathrm{e}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x} \cdot \left(\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 6 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x} \cdot \left(\mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x} \cdot \left(\mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x} \cdot \left(\mathrm{e}^{x} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 7 — Konstantenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
- $c = 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x} \cdot \left(\mathrm{e}^{x} + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}}\right)}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Konstantenregel
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x} \cdot \left(\mathrm{e}^{x} + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right)}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x} \cdot \mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Endergebnis
$$\frac{\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x} + 1} - \frac{\mathrm{e}^{2\,x}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)