Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{\mathrm{e}^{x}}{\arcsin\left(\sqrt{x}\right)}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{\mathrm{e}^{x}}{\arcsin\left(\sqrt{x}\right)}\right]}$$
Schritt 1 — Quotientenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = \mathrm{e}^{x}$
- $v = \arcsin\left(\sqrt{x}\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{\mathrm{e}^{x}}{\arcsin\left(\sqrt{x}\right)}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,\arcsin\left(\sqrt{x}\right) - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(\sqrt{x}\right)\right]}}{\arcsin\left(\sqrt{x}\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Exponentialfunktion
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}\,\arcsin\left(\sqrt{x}\right) - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(\sqrt{x}\right)\right]}}{\arcsin\left(\sqrt{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\ln\left(\mathrm{e}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\arcsin\left(\sqrt{x}\right) - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(\sqrt{x}\right)\right]}}{\arcsin\left(\sqrt{x}\right)^{2}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,\arcsin\left(\sqrt{x}\right) - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(\sqrt{x}\right)\right]}}{\arcsin\left(\sqrt{x}\right)^{2}}$$
Schritt 3 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\arcsin\left(\sqrt{x}\right) - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(\sqrt{x}\right)\right]}}{\arcsin\left(\sqrt{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\arcsin\left(\sqrt{x}\right) - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(\sqrt{x}\right)\right]}}{\arcsin\left(\sqrt{x}\right)^{2}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\arcsin\left(\sqrt{x}\right) - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(\sqrt{x}\right)\right]}}{\arcsin\left(\sqrt{x}\right)^{2}}$$
Schritt 4 — Ableitung des Arcussinus
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\arcsin(u))=\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$$
Mit:
- $u = \sqrt{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\arcsin\left(\sqrt{x}\right) - \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(\sqrt{x}\right)\right]}\,}}}}{\arcsin\left(\sqrt{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung des Arcussinus
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\arcsin\left(\sqrt{x}\right) - \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{\sqrt{1 - \sqrt{x}^{2}}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}\,}}}}{\arcsin\left(\sqrt{x}\right)^{2}}$$
Schritt 5 — Kettenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}f(u)=f'(u)\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\arcsin\left(\sqrt{x}\right) - \mathrm{e}^{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \sqrt{x}^{2}}} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}\,}}}}{\arcsin\left(\sqrt{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Kettenregel
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\arcsin\left(\sqrt{x}\right) - \mathrm{e}^{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \sqrt{x}^{2}}} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2\,\sqrt{x}}\,}}}}{\arcsin\left(\sqrt{x}\right)^{2}}$$
Endergebnis
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\arcsin\left(\sqrt{x}\right) - \frac{\frac{\mathrm{e}^{x} \cdot 1}{\sqrt{1 - \sqrt{x}^{2}}} \cdot 1}{2\,\sqrt{x}}}{\arcsin\left(\sqrt{x}\right)^{2}}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\frac{\mathrm{e}^{x}}{\arcsin\left(\sqrt{x}\right)} - \frac{\mathrm{e}^{x}}{2 \cdot \sqrt{x}\,\sqrt{1 - x} \cdot \arcsin\left(\sqrt{x}\right)^{2}}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)