Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\mathrm{e}^{x} - x^{4}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x} - x^{4}\right]}$$
Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = \mathrm{e}^{x}$
- $v = x^{4}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x} - x^{4}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]} - \frac{d}{dx}{\left[x^{4}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Exponentialfunktion
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[x^{4}\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\ln\left(\mathrm{e}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[x^{4}\right]}$$
🧹 Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]} - \frac{d}{dx}{\left[x^{4}\right]}$$
Schritt 3 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[x^{4}\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[x^{4}\right]}$$
🧹 Vereinfacht
$$\mathrm{e}^{x} - \frac{d}{dx}{\left[x^{4}\right]}$$
Schritt 4 — Potenzregel (Spezialfall)
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 4$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x} - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{4}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\mathrm{e}^{x} - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,x^{4 - 1}\,}}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\mathrm{e}^{x} - 4\,x^{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,}}$$
Endergebnis
$$\mathrm{e}^{x} - 4\,x^{3}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\mathrm{e}^{x} - 4\,x^{3}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)