Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{\ln\left(x\right)}{\tan\left(x^{3}\right)}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{\log\left(x\right)}{\tan\left(x^{3}\right)}\right]}$$
Schritt 1 — Quotientenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = \log\left(x\right)$
- $v = \tan\left(x^{3}\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{\log\left(x\right)}{\tan\left(x^{3}\right)}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}\,\tan\left(x^{3}\right) - \log\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\tan\left(x^{3}\right)\right]}}{\tan\left(x^{3}\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Logarithmus
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\log(x)) = \frac{1}{x}$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}\,}}}\,\tan\left(x^{3}\right) - \log\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\tan\left(x^{3}\right)\right]}}{\tan\left(x^{3}\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung des Logarithmus
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,}}}\,\tan\left(x^{3}\right) - \log\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\tan\left(x^{3}\right)\right]}}{\tan\left(x^{3}\right)^{2}}$$
Schritt 3 — Ableitung des Tangens (Kettenregel)
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\tan(u)) = \frac{u'}{\cos^2(u)}$$
Mit:
- $u = x^{3}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{1}{x}\,\tan\left(x^{3}\right) - \log\left(x\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\tan\left(x^{3}\right)\right]}\,}}}}{\tan\left(x^{3}\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung des Tangens (Kettenregel)
$$\frac{\frac{1}{x}\,\tan\left(x^{3}\right) - \log\left(x\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sec\left(x^{3}\right)^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}\,}}}}{\tan\left(x^{3}\right)^{2}}$$
Schritt 4 — Potenzregel (Spezialfall)
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 3$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{1}{x}\,\tan\left(x^{3}\right) - \log\left(x\right) \cdot \sec\left(x^{3}\right)^{2} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}\,}}}}{\tan\left(x^{3}\right)^{2}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\frac{\frac{1}{x}\,\tan\left(x^{3}\right) - \log\left(x\right) \cdot \sec\left(x^{3}\right)^{2} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,x^{3 - 1}\,}}}}{\tan\left(x^{3}\right)^{2}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{\frac{1}{x}\,\tan\left(x^{3}\right) - \log\left(x\right) \cdot \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3 \cdot \sec\left(x^{3}\right)^{2}\,x^{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}\,}}{\tan\left(x^{3}\right)^{2}}$$
Endergebnis
$$\frac{\frac{\tan\left(x^{3}\right)}{x} - 3 \cdot \sec\left(x^{3}\right)^{2}\,\log\left(x\right)\,x^{2}}{\tan\left(x^{3}\right)^{2}}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\frac{1}{x\,\tan\left(x^{3}\right)} - \frac{3 \cdot \sec\left(x^{3}\right)^{2}\,\log\left(x\right)\,x^{2}}{\tan\left(x^{3}\right)^{2}}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)