Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{\log_{10}{\left(x\right)}}{x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{\frac{1}{\log\left(10\right)}\,\log\left(x\right)}{x}\right]}$$
Schritt 1 — Quotientenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = \frac{1}{\log\left(10\right)}\,\log\left(x\right)$
- $v = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{\frac{1}{\log\left(10\right)}\,\log\left(x\right)}{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{\log\left(10\right)}\,\log\left(x\right)\right]}\,x - \frac{1}{\log\left(10\right)}\,\log\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Faktorregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = \frac{1}{\log\left(10\right)}$
- $u = \log\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{\log\left(10\right)}\,\log\left(x\right)\right]}\,}}}\,x - \frac{1}{\log\left(10\right)}\,\log\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x^{2}}$$
✨ Nach Faktorregel
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{\log\left(10\right)}\,\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}\,}}}\,x - \frac{1}{\log\left(10\right)}\,\log\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x^{2}}$$
Schritt 3 — Ableitung des Logarithmus
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\log(x)) = \frac{1}{x}$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{1}{\log\left(10\right)} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}\,}}}\,x - \frac{1}{\log\left(10\right)}\,\log\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x^{2}}$$
✨ Nach Ableitung des Logarithmus
$$\frac{\frac{1}{\log\left(10\right)} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,}}}\,x - \frac{1}{\log\left(10\right)}\,\log\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x^{2}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{\log\left(10\right)}\,x \cdot \frac{1}{x}\,} - \frac{1}{\log\left(10\right)}\,\log\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x^{2}}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{1}{\log\left(10\right)}\,x \cdot \frac{1}{x} - \frac{1}{\log\left(10\right)}\,\log\left(x\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}}{x^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\frac{1}{\log\left(10\right)}\,x \cdot \frac{1}{x} - \frac{1}{\log\left(10\right)}\,\log\left(x\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}{x^{2}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{\frac{1}{\log\left(10\right)}\,x \cdot \frac{1}{x} - \frac{1}{\log\left(10\right)}\,\log\left(x\right)}{x^{2}}$$
Endergebnis
$$\frac{\frac{1}{\log\left(10\right)} - \frac{1}{\log\left(10\right)}\,\log\left(x\right)}{x^{2}}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\frac{1}{\log\left(10\right)} \cdot \frac{1}{x^{2}} - \frac{\log\left(x\right)}{\log\left(10\right)\,x^{2}}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)