Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\sin\left(2\,x\right) \cdot \mathrm{e}^{x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\,\sin\left(2\,x\right)\right]}$$
Schritt 1 — Produktregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = \mathrm{e}^{x}$
- $v = \sin\left(2\,x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\,\sin\left(2\,x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,\sin\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(2\,x\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Exponentialfunktion
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}\,\sin\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(2\,x\right)\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\ln\left(\mathrm{e}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\sin\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(2\,x\right)\right]}$$
🧹 Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,\sin\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(2\,x\right)\right]}$$
Schritt 3 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\sin\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(2\,x\right)\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\sin\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(2\,x\right)\right]}$$
🧹 Vereinfacht
$$\mathrm{e}^{x}\,\sin\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(2\,x\right)\right]}$$
Schritt 4 — Ableitung des Sinus (Kettenregel)
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\sin(u)) = \cos(u) \cdot u'$$
Mit:
- $u = 2\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x}\,\sin\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(2\,x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des Sinus (Kettenregel)
$$\mathrm{e}^{x}\,\sin\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(2\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,}}}$$
Schritt 5 — Faktorregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 2$
- $u = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x}\,\sin\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{x} \cdot \cos\left(2\,x\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Faktorregel
$$\mathrm{e}^{x}\,\sin\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{x} \cdot \cos\left(2\,x\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
Schritt 6 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x}\,\sin\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{x} \cdot \cos\left(2\,x\right) \cdot 2 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\mathrm{e}^{x}\,\sin\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{x} \cdot \cos\left(2\,x\right) \cdot 2 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\mathrm{e}^{x}\,\sin\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\cos\left(2\,x\right)\,}$$
Endergebnis
$$\mathrm{e}^{x}\,\sin\left(2\,x\right) + 2 \cdot \cos\left(2\,x\right) \cdot \mathrm{e}^{x}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\mathrm{e}^{x}\,\sin\left(2\,x\right) + 2 \cdot \cos\left(2\,x\right) \cdot \mathrm{e}^{x}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)