Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\frac{\sin\left(x\right)}{x} + x^{2}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{\sin\left(x\right)}{x} + x^{2}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
  • $u = \frac{\sin\left(x\right)}{x}$
  • $v = x^{2}$

Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{\sin\left(x\right)}{x} + x^{2}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{\sin\left(x\right)}{x}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Quotientenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
  • $u = \sin\left(x\right)$
  • $v = x$

Warum dieser Schritt? Im Zähler steht: Ableitung des Zählers mal Nenner, minus Zähler mal Ableitung des Nenners. Darunter steht der Nenner zum Quadrat. Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\frac{\sin\left(x\right)}{x}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,x - \sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x^{2}}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{\sin\left(x\right)}{x}\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,x - \sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x^{2}}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}$$
Schritt 3 — Ableitung des Sinus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\sin\left(x\right)=\cos\left(x\right)$$

Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \cos\left(x\right)$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,}}}\,x - \sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x^{2}} + \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}$$
✨ Nach Ableitung des Sinus
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,}}}\,x - \sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x^{2}} + \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}$$
Schritt 4 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $\cos\left(x\right)\,x \;\Longrightarrow\; x\,\cos\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,x\,}}} - \sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x^{2}} + \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,\cos\left(x\right)\,}}} - \sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x^{2}} + \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}$$
Schritt 5 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{x\,\cos\left(x\right) - \sin\left(x\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}}{x^{2}} + \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{x\,\cos\left(x\right) - \sin\left(x\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}{x^{2}} + \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}$$
Schritt 6 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $\sin\left(x\right) \cdot 1 \;\Longrightarrow\; \sin\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{x\,\cos\left(x\right) - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sin\left(x\right) \cdot 1\,}}}}{x^{2}} + \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{x\,\cos\left(x\right) - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sin\left(x\right)\,}}}}{x^{2}} + \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}$$
Schritt 7 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 2$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{x\,\cos\left(x\right) - \sin\left(x\right)}{x^{2}} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\frac{x\,\cos\left(x\right) - \sin\left(x\right)}{x^{2}} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}}$$
Schritt 8 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{x\,\cos\left(x\right) - \sin\left(x\right)}{x^{2}} + 2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{x\,\cos\left(x\right) - \sin\left(x\right)}{x^{2}} + 2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}$$
Schritt 9 — Potenz mit Exponent 1 Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.

Nur der geänderte Teil: $x^{1} \;\Longrightarrow\; x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{x\,\cos\left(x\right) - \sin\left(x\right)}{x^{2}} + 2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{1}\,}}}$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$\frac{x\,\cos\left(x\right) - \sin\left(x\right)}{x^{2}} + 2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}}$$
Endergebnis
$$\frac{x\,\cos\left(x\right) - \sin\left(x\right)}{x^{2}} + 2\,x$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $x\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$-\frac{\sin\left(x\right)}{x^{2}} + \frac{\cos\left(x\right)}{x} + 2\,x$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt