Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\sqrt{x^{2} + 1}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x^{2} + 1}\right]}$$
Schritt 1 — Kettenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}f(u)=f'(u)\cdot u'$$
Mit:
- $u = x^{2} + 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x^{2} + 1}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Kettenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Summen-/Differenzenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = x^{2}$
- $v = 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}}$$
Schritt 3 — Potenzregel (Spezialfall)
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \left(2\,x^{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)$$
Schritt 4 — Konstantenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
- $c = 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \left(2\,x + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}}\right)$$
✨ Nach Konstantenregel
$$\frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \left(2\,x + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right)$$
🧹 Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x \cdot \frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}}\,}$$
Endergebnis
$$\frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{1}{2}}}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)