Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\sqrt{x^{2} + 1}\,\ln\left(x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x^{2} + 1}\,\ln\left(x\right)\right]}$$
Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.
Schritt 1 — Produktregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = \sqrt{x^{2} + 1}$
- $v = \ln\left(x\right)$
Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x^{2} + 1}\,\ln\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x^{2} + 1}\right]}\,\ln\left(x\right) + \sqrt{x^{2} + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Quadratwurzel (Kettenregel)
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\sqrt{u}=\frac{1}{2\,\sqrt{u}}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x^{2} + 1$
Warum dieser Schritt? Wir unterscheiden die äußere Funktion und das innere Argument u. Zuerst leiten wir außen ab und setzen u unverändert ein. Danach multiplizieren wir mit u′. Diese innere Ableitung bleibt für einen eigenen Schritt sichtbar.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x^{2} + 1}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x^{2} + 1}\right]}\,}}}\,\ln\left(x\right) + \sqrt{x^{2} + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Quadratwurzel (Kettenregel)
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]}\,}}}\,\ln\left(x\right) + \sqrt{x^{2} + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$$
Schritt 3 — Summen-/Differenzenregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = x^{2}$
- $v = 1$
Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]}\,}}}\,\ln\left(x\right) + \sqrt{x^{2} + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,}}}\,\ln\left(x\right) + \sqrt{x^{2} + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$$
Schritt 4 — Potenzregel (Spezialfall)
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 2$
Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2 - 1}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}}\,\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\ln\left(x\right) + \sqrt{x^{2} + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}}\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\ln\left(x\right) + \sqrt{x^{2} + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$$
Schritt 5 — Zahlen ausrechnen
Vereinfachung
📖 Regel
Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
Nur der geänderte Teil:
$2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}}\,\left(2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\ln\left(x\right) + \sqrt{x^{2} + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}}\,\left(2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\ln\left(x\right) + \sqrt{x^{2} + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$$
Schritt 6 — Potenz mit Exponent 1
Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$
Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.
Nur der geänderte Teil:
$x^{1} \;\Longrightarrow\; x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}}\,\left(2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{1}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\ln\left(x\right) + \sqrt{x^{2} + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$\frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}}\,\left(2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\ln\left(x\right) + \sqrt{x^{2} + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$$
Schritt 7 — Konstantenregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
- $c = 1$
Warum dieser Schritt? Dieser Term hängt nicht von x ab. Sein Wert bleibt gleich, wenn sich x ändert. Deshalb ist die Ableitung 0. Andere Buchstaben werden als konstante Parameter behandelt.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[1\right]} \;\Longrightarrow\; 0$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}}\,\left(2\,x + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}}\right)\,\ln\left(x\right) + \sqrt{x^{2} + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Konstantenregel
$$\frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}}\,\left(2\,x + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right)\,\ln\left(x\right) + \sqrt{x^{2} + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$$
Schritt 8 — Null als Summand entfernen
Vereinfachung
📖 Regel
$$a+0=a,\quad a-0=a$$
Warum dieser Schritt? Das Addieren oder Subtrahieren von 0 ändert den Wert nicht. Dieser Summand darf wegfallen.
Nur der geänderte Teil:
$2\,x + 0 \;\Longrightarrow\; 2\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(2\,x + 0\right)\,}}}\,\ln\left(x\right) + \sqrt{x^{2} + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Null als Summand entfernen
$$\frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,}}}\,\ln\left(x\right) + \sqrt{x^{2} + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$$
Schritt 9 — Zu einem Bruch zusammenfassen
Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$
Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}} \cdot 2\,x\,\ln\left(x\right) \;\Longrightarrow\; \frac{2\,x\,\ln\left(x\right)}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}} \cdot 2\,x\,\ln\left(x\right)\,}}} + \sqrt{x^{2} + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{2\,x\,\ln\left(x\right)}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}}\,}}} + \sqrt{x^{2} + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$$
Schritt 10 — Zahlen kürzen
Vereinfachung
📖 Regel
$$\frac{k\cdot a}{k\cdot b}=\frac{a}{b}$$
Warum dieser Schritt? Zähler und Nenner enthalten einen gemeinsamen Zahlenfaktor. Wir teilen beide durch diesen Faktor.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{2\,x\,\ln\left(x\right)}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}} \;\Longrightarrow\; \frac{x\,\ln\left(x\right)}{\sqrt{x^{2} + 1}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{2\,x\,\ln\left(x\right)}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}}\,}}} + \sqrt{x^{2} + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Zahlen kürzen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{x\,\ln\left(x\right)}{\sqrt{x^{2} + 1}}\,}}} + \sqrt{x^{2} + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$$
Schritt 11 — Ableitung des natürlichen Logarithmus
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{1}{x}$$
Warum dieser Schritt? Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist der Kehrwert seines Arguments. Hier ist das Argument genau die Ableitungsvariable.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{x\,\ln\left(x\right)}{\sqrt{x^{2} + 1}} + \sqrt{x^{2} + 1}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des natürlichen Logarithmus
$$\frac{x\,\ln\left(x\right)}{\sqrt{x^{2} + 1}} + \sqrt{x^{2} + 1} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,}}}$$
Schritt 12 — Zu einem Bruch zusammenfassen
Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$
Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.
Nur der geänderte Teil:
$\sqrt{x^{2} + 1} \cdot \frac{1}{x} \;\Longrightarrow\; \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{x\,\ln\left(x\right)}{\sqrt{x^{2} + 1}} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sqrt{x^{2} + 1} \cdot \frac{1}{x}\,}}}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\frac{x\,\ln\left(x\right)}{\sqrt{x^{2} + 1}} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}\,}}}$$
Endergebnis
$$\frac{x\,\ln\left(x\right)}{\sqrt{x^{2} + 1}} + \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
- $x^{2} + 1>0$ – Die angegebene Wurzelableitung gilt hier im positiven Bereich; andere reelle Zweige und Randstellen brauchen eine gesonderte Prüfung.
- $x>0$ – Das Logarithmusargument muss positiv sein.
Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\frac{x\,\log\left(x\right)}{\sqrt{x^{2} + 1}} + \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt