Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\tan\left(x\right) - 5 \cdot \mathrm{e}^{x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\tan\left(x\right) - 5 \cdot \mathrm{e}^{x}\right]}$$
Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = \tan\left(x\right)$
- $v = 5 \cdot \mathrm{e}^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\tan\left(x\right) - 5 \cdot \mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\tan\left(x\right)\right]} - \frac{d}{dx}{\left[5 \cdot \mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Tangens
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\tan(x)) = \frac{1}{\cos^2(x)}$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\tan\left(x\right)\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[5 \cdot \mathrm{e}^{x}\right]}$$
✨ Nach Ableitung des Tangens
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sec\left(x\right)^{2}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[5 \cdot \mathrm{e}^{x}\right]}$$
Schritt 3 — Faktorregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 5$
- $u = \mathrm{e}^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\sec\left(x\right)^{2} - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[5 \cdot \mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Faktorregel
$$\sec\left(x\right)^{2} - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,5\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}$$
Schritt 4 — Ableitung der Exponentialfunktion
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\sec\left(x\right)^{2} - 5 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\sec\left(x\right)^{2} - 5 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\ln\left(\mathrm{e}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\sec\left(x\right)^{2} - 5 \cdot \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
Schritt 5 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\sec\left(x\right)^{2} - 5 \cdot \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\sec\left(x\right)^{2} - 5 \cdot \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\sec\left(x\right)^{2} - 5 \cdot \mathrm{e}^{x}$$
Endergebnis
$$\sec\left(x\right)^{2} - 5 \cdot \mathrm{e}^{x}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\sec\left(x\right)^{2} - 5 \cdot \mathrm{e}^{x}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)