Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{x^{3}}{2^{x}}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{x^{3}}{2^{x}}\right]}$$
Schritt 1 — Quotientenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = x^{3}$
- $v = 2^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{x^{3}}{2^{x}}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]} \cdot 2^{x} - x^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[2^{x}\right]}}{\left(2^{x}\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Potenzregel (Spezialfall)
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 3$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}\,}}} \cdot 2^{x} - x^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[2^{x}\right]}}{\left(2^{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,x^{3 - 1}\,}}} \cdot 2^{x} - x^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[2^{x}\right]}}{\left(2^{x}\right)^{2}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{3\,x^{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}} \cdot 2^{x} - x^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[2^{x}\right]}}{\left(2^{x}\right)^{2}}$$
Schritt 3 — Kettenregel (Exponentialfunktion, konstante Basis)
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(a^{u}\right)=a^{u}\,\ln(a)\,u'$$
Mit:
- $a = 2$
- $u = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{3\,x^{2} \cdot 2^{x} - x^{3} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2^{x}\right]}\,}}}}{\left(2^{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Kettenregel (Exponentialfunktion, konstante Basis)
$$\frac{3\,x^{2} \cdot 2^{x} - x^{3} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2^{x}\,\ln\left(2\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}}{\left(2^{x}\right)^{2}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{3\,x^{2} \cdot 2^{x} - x^{3} \cdot \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\ln\left(2\right) \cdot 2^{x}\,}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{\left(2^{x}\right)^{2}}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{3\,x^{2} \cdot 2^{x} - x^{3} \cdot \ln\left(2\right) \cdot 2^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}}{\left(2^{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{3\,x^{2} \cdot 2^{x} - x^{3} \cdot \ln\left(2\right) \cdot 2^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}{\left(2^{x}\right)^{2}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{3\,x^{2} \cdot 2^{x} - \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\ln\left(2\right)\,x^{3} \cdot 2^{x}\,}}{\left(2^{x}\right)^{2}}$$
Endergebnis
$$\frac{3\,x^{2}}{2^{x}} - \frac{\log\left(2\right)\,x^{3}}{2^{x}}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\frac{3\,x^{2}}{2^{x}} - \frac{\log\left(2\right)\,x^{3}}{2^{x}}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)