Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$x^{3}\,\cos\left(x\right) - \mathrm{e}^{-x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\,\cos\left(x\right) - \mathrm{e}^{-x}\right]}$$
Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = x^{3}\,\cos\left(x\right)$
- $v = \mathrm{e}^{-x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\,\cos\left(x\right) - \mathrm{e}^{-x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\,\cos\left(x\right)\right]} - \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Produktregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = x^{3}$
- $v = \cos\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\,\cos\left(x\right)\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}\,\cos\left(x\right) + x^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}$$
Schritt 3 — Potenzregel (Spezialfall)
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 3$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}\,}}}\,\cos\left(x\right) + x^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]} - \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,x^{3 - 1}\,}}}\,\cos\left(x\right) + x^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]} - \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}$$
🧹 Vereinfacht
$$3\,x^{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}\,\cos\left(x\right) + x^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]} - \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}$$
Schritt 4 — Ableitung des Kosinus
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x)$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$3\,x^{2}\,\cos\left(x\right) + x^{3} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}$$
✨ Nach Ableitung des Kosinus
$$3\,x^{2}\,\cos\left(x\right) + x^{3} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(x\right)\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}$$
🧹 Vereinfacht
$$3\,x^{2}\,\cos\left(x\right) + \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-x^{3}\,\sin\left(x\right)\,} - \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}$$
Schritt 5 — Ableitung der Exponentialfunktion
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = -x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$3\,x^{2}\,\cos\left(x\right) + -x^{3}\,\sin\left(x\right) - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$3\,x^{2}\,\cos\left(x\right) + -x^{3}\,\sin\left(x\right) - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{-x}\,\ln\left(\mathrm{e}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[-x\right]}\,}}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,x^{2}\,\cos\left(x\right) - x^{3}\,\sin\left(x\right)\,} - \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{-x}\,}\,\frac{d}{dx}{\left[-x\right]}$$
Schritt 6 — Ableitung eines negativen Terms
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(-u) = -u'$$
Mit:
- $u = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$3\,x^{2}\,\cos\left(x\right) - x^{3}\,\sin\left(x\right) - \mathrm{e}^{-x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[-x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung eines negativen Terms
$$3\,x^{2}\,\cos\left(x\right) - x^{3}\,\sin\left(x\right) - \mathrm{e}^{-x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
Schritt 7 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$3\,x^{2}\,\cos\left(x\right) - x^{3}\,\sin\left(x\right) - \mathrm{e}^{-x}\,\left(-\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\right)$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$3\,x^{2}\,\cos\left(x\right) - x^{3}\,\sin\left(x\right) - \mathrm{e}^{-x}\,\left(-\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\right)$$
🧹 Vereinfacht
$$3\,x^{2}\,\cos\left(x\right) - x^{3}\,\sin\left(x\right) - \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\mathrm{e}^{-x}\,}$$
Endergebnis
$$3 \cdot \cos\left(x\right)\,x^{2} - x^{3}\,\sin\left(x\right) + \mathrm{e}^{-x}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$-x^{3}\,\sin\left(x\right) + 3 \cdot \cos\left(x\right)\,x^{2} + \mathrm{e}^{-x}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)