Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{x \cdot \mathrm{e}^{x}}{\sin\left(x\right)}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{x \cdot \mathrm{e}^{x}}{\sin\left(x\right)}\right]}$$
Schritt 1 — Quotientenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = x \cdot \mathrm{e}^{x}$
- $v = \sin\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{x \cdot \mathrm{e}^{x}}{\sin\left(x\right)}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[x \cdot \mathrm{e}^{x}\right]}\,\sin\left(x\right) - x \cdot \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}}{\sin\left(x\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Produktregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = x$
- $v = \mathrm{e}^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x \cdot \mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}\,\sin\left(x\right) - x \cdot \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}}{\sin\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \cdot \mathrm{e}^{x} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}\,\sin\left(x\right) - x \cdot \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}}{\sin\left(x\right)^{2}}$$
Schritt 3 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} \cdot \mathrm{e}^{x} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\right)\,\sin\left(x\right) - x \cdot \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}}{\sin\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} \cdot \mathrm{e}^{x} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\right)\,\sin\left(x\right) - x \cdot \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}}{\sin\left(x\right)^{2}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{\left(\mathrm{e}^{x} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\right)\,\sin\left(x\right) - x \cdot \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}}{\sin\left(x\right)^{2}}$$
Schritt 4 — Ableitung der Exponentialfunktion
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(\mathrm{e}^{x} + x \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}\right)\,\sin\left(x\right) - x \cdot \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}}{\sin\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\frac{\left(\mathrm{e}^{x} + x \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\ln\left(\mathrm{e}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\right)\,\sin\left(x\right) - x \cdot \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}}{\sin\left(x\right)^{2}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{\left(\mathrm{e}^{x} + x \cdot \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right)\,\sin\left(x\right) - x \cdot \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}}{\sin\left(x\right)^{2}}$$
Schritt 5 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(\mathrm{e}^{x} + x \cdot \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\right)\,\sin\left(x\right) - x \cdot \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}}{\sin\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\left(\mathrm{e}^{x} + x \cdot \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\right)\,\sin\left(x\right) - x \cdot \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}}{\sin\left(x\right)^{2}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{\left(\mathrm{e}^{x} + x \cdot \mathrm{e}^{x}\right)\,\sin\left(x\right) - x \cdot \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}}{\sin\left(x\right)^{2}}$$
Schritt 6 — Ableitung des Sinus
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(\mathrm{e}^{x} + x \cdot \mathrm{e}^{x}\right)\,\sin\left(x\right) - x \cdot \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,}}}}{\sin\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung des Sinus
$$\frac{\left(\mathrm{e}^{x} + x \cdot \mathrm{e}^{x}\right)\,\sin\left(x\right) - x \cdot \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,}}}}{\sin\left(x\right)^{2}}$$
Endergebnis
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(x\,\sin\left(x\right) + \sin\left(x\right) - x\,\cos\left(x\right)\right)}{\sin\left(x\right)^{2}}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,x}{\sin\left(x\right)} + \frac{\mathrm{e}^{x}}{\sin\left(x\right)} - \frac{\mathrm{e}^{x}\,x\,\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)^{2}}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)