Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$x\,\log_{2}{\left(x\right)}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[x\,\log_{2}{\left(x\right)}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Produktregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = x$
  • $v = \log_{2}{\left(x\right)}$

Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\,\log_{2}{\left(x\right)}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,\log_{2}{\left(x\right)} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\log_{2}{\left(x\right)}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\log_{2}{\left(x\right)} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\log_{2}{\left(x\right)}\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\log_{2}{\left(x\right)} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\log_{2}{\left(x\right)}\right]}$$
Schritt 3 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $1\,\log_{2}{\left(x\right)} \;\Longrightarrow\; \log_{2}{\left(x\right)}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,\log_{2}{\left(x\right)}\,}}} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\log_{2}{\left(x\right)}\right]}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\log_{2}{\left(x\right)}\,}}} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\log_{2}{\left(x\right)}\right]}$$
Schritt 4 — Kettenregel für den Logarithmus zur Basis b Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\big(\log_{ {b} }({u})\big) = \frac{u'}{{u}\,\ln({b})}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $b = 2$

Warum dieser Schritt? Wir wenden die Logarithmusregel für die angegebene feste Basis an. Im Zähler steht die noch offene innere Ableitung, im Nenner das Argument mal natürlicher Logarithmus der Basis.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\log_{2}{\left(x\right)}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x\,\ln\left(2\right)}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\log_{2}{\left(x\right)} + x\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\log_{2}{\left(x\right)}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Kettenregel für den Logarithmus zur Basis b
$$\log_{2}{\left(x\right)} + x \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x\,\ln\left(2\right)}\,}}}$$
Schritt 5 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $x\,\ln\left(2\right) \;\Longrightarrow\; \ln\left(2\right)\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\log_{2}{\left(x\right)} + x \cdot \frac{\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,\ln\left(2\right)\,}}}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\log_{2}{\left(x\right)} + x \cdot \frac{\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\ln\left(2\right)\,x\,}}}}$$
Schritt 6 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\log_{2}{\left(x\right)} + x \cdot \frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}}{\ln\left(2\right)\,x}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\log_{2}{\left(x\right)} + x \cdot \frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}{\ln\left(2\right)\,x}$$
Schritt 7 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

Nur der geänderte Teil: $x \cdot \frac{1}{\ln\left(2\right)\,x} \;\Longrightarrow\; \frac{x}{\ln\left(2\right)\,x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\log_{2}{\left(x\right)} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x \cdot \frac{1}{\ln\left(2\right)\,x}\,}}}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\log_{2}{\left(x\right)} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{x}{\ln\left(2\right)\,x}\,}}}$$
Schritt 8 — Gemeinsamen Faktor kürzen Vereinfachung
📖 Regel
$$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$

Warum dieser Schritt? Derselbe Faktor steht im Zähler und im Nenner. Beim Kürzen werden die Exponenten subtrahiert. Stellen, an denen dieser Faktor 0 ist, bleiben wegen der ursprünglichen Bedingungen ausgeschlossen.

Nur der geänderte Teil: $\frac{x}{\ln\left(2\right)\,x} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{\ln\left(2\right)}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\log_{2}{\left(x\right)} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{x}{\ln\left(2\right)\,x}\,}}}$$
✨ Nach Gemeinsamen Faktor kürzen
$$\log_{2}{\left(x\right)} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{\ln\left(2\right)}\,}}}$$
Endergebnis
$$\log_{2}{\left(x\right)} + \frac{1}{\ln\left(2\right)}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $x>0$ – Das Logarithmusargument muss positiv sein.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\frac{\log\left(x\right)}{\log\left(2\right)} + \frac{1}{\log\left(2\right)}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt