Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{x}{x + 1} - \mathrm{e}^{x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{x}{x + 1} - \mathrm{e}^{x}\right]}$$
Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = \frac{x}{x + 1}$
- $v = \mathrm{e}^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{x}{x + 1} - \mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{x}{x + 1}\right]} - \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Quotientenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = x$
- $v = x + 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{x}{x + 1}\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,\left(x + 1\right) - x\,\frac{d}{dx}{\left[x + 1\right]}}{\left(x + 1\right)^{2}}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
Schritt 3 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\left(x + 1\right) - x\,\frac{d}{dx}{\left[x + 1\right]}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\left(x + 1\right) - x\,\frac{d}{dx}{\left[x + 1\right]}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{x + 1 - x\,\frac{d}{dx}{\left[x + 1\right]}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
Schritt 4 — Summen-/Differenzenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = x$
- $v = 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{x + 1 - x \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x + 1\right]}\,}}}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\frac{x + 1 - x \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
Schritt 5 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{x + 1 - x \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{x + 1 - x \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
Schritt 6 — Konstantenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
- $c = 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{x + 1 - x \cdot \left(1 + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}}\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
✨ Nach Konstantenregel
$$\frac{x + 1 - x \cdot \left(1 + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{x + 1 - x}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
Schritt 7 — Ableitung der Exponentialfunktion
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{x + 1 - x}{\left(x + 1\right)^{2}} - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\frac{x + 1 - x}{\left(x + 1\right)^{2}} - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\ln\left(\mathrm{e}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{x + 1 - x}{\left(x + 1\right)^{2}} - \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
Schritt 8 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{x + 1 - x}{\left(x + 1\right)^{2}} - \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{x + 1 - x}{\left(x + 1\right)^{2}} - \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{x + 1 - x}{\left(x + 1\right)^{2}} - \mathrm{e}^{x}$$
Endergebnis
$$\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \mathrm{e}^{x}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\frac{1}{x + 1} - \frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} - \mathrm{e}^{x}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)