Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{x}{\arctan\left(x\right)}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{x}{\arctan\left(x\right)}\right]}$$
Schritt 1 — Quotientenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = x$
- $v = \arctan\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{x}{\arctan\left(x\right)}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,\arctan\left(x\right) - x\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x\right)\right]}}{\arctan\left(x\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\arctan\left(x\right) - x\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x\right)\right]}}{\arctan\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\arctan\left(x\right) - x\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x\right)\right]}}{\arctan\left(x\right)^{2}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{\arctan\left(x\right) - x\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x\right)\right]}}{\arctan\left(x\right)^{2}}$$
Schritt 3 — Ableitung des Arcustangens
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\arctan(x))=\frac{1}{1+x^2}$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\arctan\left(x\right) - x \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x\right)\right]}\,}}}}{\arctan\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung des Arcustangens
$$\frac{\arctan\left(x\right) - x \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{1 + x^{2}}\,}}}}{\arctan\left(x\right)^{2}}$$
Endergebnis
$$\frac{\arctan\left(x\right) - \frac{x}{x^{2} + 1}}{\arctan\left(x\right)^{2}}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\frac{1}{\arctan\left(x\right)} - \frac{x}{\left(x^{2} + 1\right) \cdot \arctan\left(x\right)^{2}}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)