Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{1}{x}\,\cos\left(x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\frac{\cos\left(x\right)}{x}\right)}$$
Schritt 1 — Quotientenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = \cos\left(x\right)$
- $v = x$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\frac{\cos\left(x\right)}{x}\right)}\,}}}$$
Nach Quotientenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)}x - \cos\left(x\right)\frac{d}{dx}{\left(x\right)}}{x^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Kosinus
Regel
$$\frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x)$$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)}\,}}}x - \cos\left(x\right)\frac{d}{dx}{\left(x\right)}}{x^{2}}$$
Nach Ableitung des Kosinus
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(x\right)\,}}}x - \cos\left(x\right)\frac{d}{dx}{\left(x\right)}}{x^{2}}$$
Schritt 3 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{-\sin\left(x\right)x - \cos\left(x\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}}{x^{2}}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{-\sin\left(x\right)x - \cos\left(x\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}{x^{2}}$$
Vereinfacht
$$\frac{-\sin\left(x\right)x - \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,}}}}{x^{2}}$$
Ergebnis
$$\frac{-\sin\left(x\right)x - \cos\left(x\right)}{x^{2}}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$-\frac{\sin\left(x\right)}{x} - \frac{\cos\left(x\right)}{x^{2}}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)