Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$2\ln\left(x\right)\,x$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(2 \cdot \log\left(x\right)x\right)}$$
Schritt 1 — Produktregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $2$
- $\log\left(x\right)$
- $x$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(2 \cdot \log\left(x\right)x\right)}\,}}}$$
Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(2\right)} \cdot \log\left(x\right)x + 2\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)x\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Konstantenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
- $c = 2$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(2\right)}\,}}} \cdot \log\left(x\right)x + 2\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)x\right)}$$
Nach Konstantenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}} \cdot \log\left(x\right)x + 2\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)x\right)}$$
Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)x\right)}\,}}}$$
Schritt 3 — Produktregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = \log\left(x\right)$
- $v = x$
Aktueller Ausdruck
$$2\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)x\right)}\,}}}$$
Nach Produktregel
$$2 \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)\right)}x + \log\left(x\right)\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\right)$$
Schritt 4 — Kettenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}f(u)=f'(u)\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$2 \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)\right)}\,}}}x + \log\left(x\right)\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\right)$$
Nach Kettenregel
$$2 \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,}}}\,x + \log\left(x\right)\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\right)$$
Schritt 5 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$2 \cdot \left(\frac{1}{x}\,x + \log\left(x\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\right)$$
Nach Ableitung der Variablen
$$2 \cdot \left(\frac{1}{x}\,x + \log\left(x\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\right)$$
Vereinfacht
$$2 \cdot \left(\frac{1}{x}\,x + \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\log\left(x\right)\,}}}\right)$$
Ergebnis
$$2 \cdot \left(\frac{1}{x}\,x + \log\left(x\right)\right)$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$2\log\left(x\right) + 2$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)