Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\frac{2\,x + 3}{4\,x - 1}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{2\,x + 3}{4\,x - 1}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Quotientenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
  • $u = 2\,x + 3$
  • $v = 4\,x - 1$

Warum dieser Schritt? Im Zähler steht: Ableitung des Zählers mal Nenner, minus Zähler mal Ableitung des Nenners. Darunter steht der Nenner zum Quadrat. Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{2\,x + 3}{4\,x - 1}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[2\,x + 3\right]}\,\left(4\,x - 1\right) - \left(2\,x + 3\right)\,\frac{d}{dx}{\left[4\,x - 1\right]}}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Summen-/Differenzenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
  • $u = 2\,x$
  • $v = 3$

Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[2\,x + 3\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]} + \frac{d}{dx}{\left[3\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x + 3\right]}\,}}}\,\left(4\,x - 1\right) - \left(2\,x + 3\right)\,\frac{d}{dx}{\left[4\,x - 1\right]}}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]} + \frac{d}{dx}{\left[3\right]}\right)\,}}}\,\left(4\,x - 1\right) - \left(2\,x + 3\right)\,\frac{d}{dx}{\left[4\,x - 1\right]}}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
Schritt 3 — Faktorregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
  • $c = 2$
  • $u = x$

Warum dieser Schritt? Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[3\right]}\right)\,\left(4\,x - 1\right) - \left(2\,x + 3\right)\,\frac{d}{dx}{\left[4\,x - 1\right]}}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktorregel
$$\frac{\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[3\right]}\right)\,\left(4\,x - 1\right) - \left(2\,x + 3\right)\,\frac{d}{dx}{\left[4\,x - 1\right]}}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[3\right]}\right)\,\left(4\,x - 1\right) - \left(2\,x + 3\right)\,\frac{d}{dx}{\left[4\,x - 1\right]}}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\left(2 \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[3\right]}\right)\,\left(4\,x - 1\right) - \left(2\,x + 3\right)\,\frac{d}{dx}{\left[4\,x - 1\right]}}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
Schritt 5 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $2 \cdot 1 \;\Longrightarrow\; 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 \cdot 1\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[3\right]}\right)\,\left(4\,x - 1\right) - \left(2\,x + 3\right)\,\frac{d}{dx}{\left[4\,x - 1\right]}}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[3\right]}\right)\,\left(4\,x - 1\right) - \left(2\,x + 3\right)\,\frac{d}{dx}{\left[4\,x - 1\right]}}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
Schritt 6 — Konstantenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
  • $c = 3$

Warum dieser Schritt? Dieser Term hängt nicht von x ab. Sein Wert bleibt gleich, wenn sich x ändert. Deshalb ist die Ableitung 0. Andere Buchstaben werden als konstante Parameter behandelt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[3\right]} \;\Longrightarrow\; 0$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(2 + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[3\right]}\,}}}\right)\,\left(4\,x - 1\right) - \left(2\,x + 3\right)\,\frac{d}{dx}{\left[4\,x - 1\right]}}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Konstantenregel
$$\frac{\left(2 + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right)\,\left(4\,x - 1\right) - \left(2\,x + 3\right)\,\frac{d}{dx}{\left[4\,x - 1\right]}}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
Schritt 7 — Null als Summand entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$a+0=a,\quad a-0=a$$

Warum dieser Schritt? Das Addieren oder Subtrahieren von 0 ändert den Wert nicht. Dieser Summand darf wegfallen.

Nur der geänderte Teil: $2 + 0 \;\Longrightarrow\; 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(2 + 0\right)\,}}}\,\left(4\,x - 1\right) - \left(2\,x + 3\right)\,\frac{d}{dx}{\left[4\,x - 1\right]}}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Null als Summand entfernen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}}\,\left(4\,x - 1\right) - \left(2\,x + 3\right)\,\frac{d}{dx}{\left[4\,x - 1\right]}}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
Schritt 8 — Summen-/Differenzenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
  • $u = 4\,x$
  • $v = 1$

Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[4\,x - 1\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[4\,x\right]} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,\left(4\,x - 1\right) - \left(2\,x + 3\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[4\,x - 1\right]}\,}}}}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\frac{2\,\left(4\,x - 1\right) - \left(2\,x + 3\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[4\,x\right]} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,}}}}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
Schritt 9 — Faktorregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
  • $c = 4$
  • $u = x$

Warum dieser Schritt? Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[4\,x\right]} \;\Longrightarrow\; 4\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,\left(4\,x - 1\right) - \left(2\,x + 3\right)\,\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[4\,x\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktorregel
$$\frac{2\,\left(4\,x - 1\right) - \left(2\,x + 3\right)\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
Schritt 10 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,\left(4\,x - 1\right) - \left(2\,x + 3\right)\,\left(4\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{2\,\left(4\,x - 1\right) - \left(2\,x + 3\right)\,\left(4 \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
Schritt 11 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $4 \cdot 1 \;\Longrightarrow\; 4$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,\left(4\,x - 1\right) - \left(2\,x + 3\right)\,\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4 \cdot 1\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{2\,\left(4\,x - 1\right) - \left(2\,x + 3\right)\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
Schritt 12 — Konstantenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
  • $c = 1$

Warum dieser Schritt? Dieser Term hängt nicht von x ab. Sein Wert bleibt gleich, wenn sich x ändert. Deshalb ist die Ableitung 0. Andere Buchstaben werden als konstante Parameter behandelt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[1\right]} \;\Longrightarrow\; 0$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,\left(4\,x - 1\right) - \left(2\,x + 3\right)\,\left(4 - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}}\right)}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Konstantenregel
$$\frac{2\,\left(4\,x - 1\right) - \left(2\,x + 3\right)\,\left(4 - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right)}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
Schritt 13 — Null als Summand entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$a+0=a,\quad a-0=a$$

Warum dieser Schritt? Das Addieren oder Subtrahieren von 0 ändert den Wert nicht. Dieser Summand darf wegfallen.

Nur der geänderte Teil: $4 - 0 \;\Longrightarrow\; 4$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,\left(4\,x - 1\right) - \left(2\,x + 3\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(4 - 0\right)\,}}}}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Null als Summand entfernen
$$\frac{2\,\left(4\,x - 1\right) - \left(2\,x + 3\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,}}}}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
Schritt 14 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $\left(2\,x + 3\right) \cdot 4 \;\Longrightarrow\; 4\,\left(2\,x + 3\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,\left(4\,x - 1\right) - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(2\,x + 3\right) \cdot 4\,}}}}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\frac{2\,\left(4\,x - 1\right) - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,\left(2\,x + 3\right)\,}}}}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
Schritt 15 — Ausmultiplizieren Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$$

Warum dieser Schritt? Mit dem Distributivgesetz multiplizieren wir jeden Summanden der Klammer mit den übrigen Faktoren. Danach können gleichartige Terme zusammengefasst werden.

Nur der geänderte Teil: $2\,\left(4\,x - 1\right) - 4\,\left(2\,x + 3\right) \;\Longrightarrow\; 2 \cdot 4\,x - 2 \cdot 1 - 4\,\left(2\,x + 3\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\left(4\,x - 1\right) - 4\,\left(2\,x + 3\right)\,}}}}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Ausmultiplizieren
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 \cdot 4\,x - 2 \cdot 1 - 4\,\left(2\,x + 3\right)\,}}}}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
Schritt 16 — Zahlenfaktoren zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot u\cdot b=(a\cdot b)\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Wir multiplizieren die Zahlenfaktoren miteinander und schreiben das Ergebnis nach vorne. Die übrigen Faktoren bleiben stehen. Ist das Produkt 1, entfällt dieser Faktor ganz.

Nur der geänderte Teil: $2 \cdot 4\,x \;\Longrightarrow\; 8\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 \cdot 4\,x\,}}} - 2 \cdot 1 - 4\,\left(2\,x + 3\right)}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Zahlenfaktoren zusammenfassen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,8\,x\,}}} - 2 \cdot 1 - 4\,\left(2\,x + 3\right)}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
Schritt 17 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $2 \cdot 1 \;\Longrightarrow\; 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{8\,x - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 \cdot 1\,}}} - 4\,\left(2\,x + 3\right)}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{8\,x - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}} - 4\,\left(2\,x + 3\right)}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
Schritt 18 — Ausmultiplizieren Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$$

Warum dieser Schritt? Mit dem Distributivgesetz multiplizieren wir jeden Summanden der Klammer mit den übrigen Faktoren. Danach können gleichartige Terme zusammengefasst werden.

Nur der geänderte Teil: $8\,x - 2 - 4\,\left(2\,x + 3\right) \;\Longrightarrow\; 8\,x - 2 - 4 \cdot 2\,x - 4 \cdot 3$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,8\,x - 2 - 4\,\left(2\,x + 3\right)\,}}}}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Ausmultiplizieren
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,8\,x - 2 - 4 \cdot 2\,x - 4 \cdot 3\,}}}}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
Schritt 19 — Zahlenfaktoren zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot u\cdot b=(a\cdot b)\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Wir multiplizieren die Zahlenfaktoren miteinander und schreiben das Ergebnis nach vorne. Die übrigen Faktoren bleiben stehen. Ist das Produkt 1, entfällt dieser Faktor ganz.

Nur der geänderte Teil: $4 \cdot 2\,x \;\Longrightarrow\; 8\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{8\,x - 2 - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4 \cdot 2\,x\,}}} - 4 \cdot 3}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Zahlenfaktoren zusammenfassen
$$\frac{8\,x - 2 - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,8\,x\,}}} - 4 \cdot 3}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
Schritt 20 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $4 \cdot 3 \;\Longrightarrow\; 12$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{8\,x - 2 - 8\,x - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4 \cdot 3\,}}}}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{8\,x - 2 - 8\,x - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,12\,}}}}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
Schritt 21 — Entgegengesetzte Terme heben sich auf Vereinfachung
📖 Regel
$$u-u=0$$

Warum dieser Schritt? Derselbe Term kommt einmal mit Plus und einmal mit Minus vor. Zusammen ergeben sie 0, deshalb fallen beide weg.

Nur der geänderte Teil: $8\,x - 2 - 8\,x - 12 \;\Longrightarrow\; -2 - 12$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,8\,x - 2 - 8\,x - 12\,}}}}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Entgegengesetzte Terme heben sich auf
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-2 - 12\,}}}}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
Schritt 22 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $-2 - 12 \;\Longrightarrow\; -14$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-2 - 12\,}}}}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-14\,}}}}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
Schritt 23 — Vorzeichen vor den Bruch ziehen Vereinfachung
📖 Regel
$$\frac{-a}{b}=\frac{a}{-b}=-\frac{a}{b}$$

Warum dieser Schritt? Ein Minuszeichen im Zähler oder im Nenner kann vor den ganzen Bruch geschrieben werden. Zwei Minuszeichen heben sich auf.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{-14}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}\,}}}$$
✨ Nach Vorzeichen vor den Bruch ziehen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{14}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}\,}}}$$
Endergebnis
$$-\frac{14}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $4\,x - 1\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\frac{2}{4\,x - 1} - \frac{4\,\left(2\,x + 3\right)}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt