Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{2\,x + 3}{4\,x - 1}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\frac{2\,x + 3}{4\,x - 1}\right)}$$
Schritt 1 — Quotientenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = 2\,x + 3$
- $v = 4\,x - 1$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\frac{2\,x + 3}{4\,x - 1}\right)}\,}}}$$
Nach Quotientenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left(2\,x + 3\right)}\left(4\,x - 1\right) - \left(2\,x + 3\right)\,\frac{d}{dx}{\left(4\,x - 1\right)}}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Summen-/Differenzenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = 2\,x$
- $v = 3$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(2\,x + 3\right)}\,}}}\left(4\,x - 1\right) - \left(2\,x + 3\right)\,\frac{d}{dx}{\left(4\,x - 1\right)}}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
Nach Summen-/Differenzenregel
$$\frac{\left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(2\,x\right)} + \frac{d}{dx}{\left(3\right)}\,}}}\right)\,\left(4\,x - 1\right) - \left(2\,x + 3\right)\,\frac{d}{dx}{\left(4\,x - 1\right)}}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
Schritt 3 — Faktorregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 2$
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(2\,x\right)}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(3\right)}\right)\,\left(4\,x - 1\right) - \left(2\,x + 3\right)\,\frac{d}{dx}{\left(4\,x - 1\right)}}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
Nach Faktorregel
$$\frac{\left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(3\right)}\right)\,\left(4\,x - 1\right) - \left(2\,x + 3\right)\,\frac{d}{dx}{\left(4\,x - 1\right)}}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(2\,\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(3\right)}\right)\,\left(4\,x - 1\right) - \left(2\,x + 3\right)\,\frac{d}{dx}{\left(4\,x - 1\right)}}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\left(2 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(3\right)}\right)\,\left(4\,x - 1\right) - \left(2\,x + 3\right)\,\frac{d}{dx}{\left(4\,x - 1\right)}}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
Vereinfacht
$$\frac{\left(\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(3\right)}\right)\,\left(4\,x - 1\right) - \left(2\,x + 3\right)\,\frac{d}{dx}{\left(4\,x - 1\right)}}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
Schritt 5 — Konstantenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
- $c = 3$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(2 + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(3\right)}\,}}}\right)\,\left(4\,x - 1\right) - \left(2\,x + 3\right)\,\frac{d}{dx}{\left(4\,x - 1\right)}}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
Nach Konstantenregel
$$\frac{\left(2 + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right)\,\left(4\,x - 1\right) - \left(2\,x + 3\right)\,\frac{d}{dx}{\left(4\,x - 1\right)}}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
Vereinfacht
$$\frac{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\left(4\,x - 1\right)\,}}} - \left(2\,x + 3\right)\,\frac{d}{dx}{\left(4\,x - 1\right)}}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
Schritt 6 — Summen-/Differenzenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = 4\,x$
- $v = 1$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,\left(4\,x - 1\right) - \left(2\,x + 3\right)\,\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(4\,x - 1\right)}\,}}}}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
Nach Summen-/Differenzenregel
$$\frac{2\,\left(4\,x - 1\right) - \left(2\,x + 3\right) \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(4\,x\right)} - \frac{d}{dx}{\left(1\right)}\,}}}\right)}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
Schritt 7 — Faktorregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 4$
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,\left(4\,x - 1\right) - \left(2\,x + 3\right) \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(4\,x\right)}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(1\right)}\right)}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
Nach Faktorregel
$$\frac{2\,\left(4\,x - 1\right) - \left(2\,x + 3\right) \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(1\right)}\right)}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
Schritt 8 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,\left(4\,x - 1\right) - \left(2\,x + 3\right) \cdot \left(4\,\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(1\right)}\right)}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{2\,\left(4\,x - 1\right) - \left(2\,x + 3\right) \cdot \left(4 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(1\right)}\right)}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
Vereinfacht
$$\frac{2\,\left(4\,x - 1\right) - \left(2\,x + 3\right) \cdot \left(\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(1\right)}\right)}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
Schritt 9 — Konstantenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
- $c = 1$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,\left(4\,x - 1\right) - \left(2\,x + 3\right) \cdot \left(4 - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(1\right)}\,}}}\right)}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
Nach Konstantenregel
$$\frac{2\,\left(4\,x - 1\right) - \left(2\,x + 3\right) \cdot \left(4 - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right)}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
Vereinfacht
$$\frac{2\,\left(4\,x - 1\right) - \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(2\,x + 3\right) \cdot 4\,}}}}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
Ergebnis
$$\frac{2\,\left(4\,x - 1\right) - \left(2\,x + 3\right) \cdot 4}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$\frac{2}{4\,x - 1} - \frac{4\,\left(2\,x + 3\right)}{\left(4\,x - 1\right)^{2}}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)