Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\left(3x^{2} - 1\right)\,\cos\left(x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\left(3x^{2} - 1\right)\,\cos\left(x\right)\right)}$$
Schritt 1 — Produktregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = 3x^{2} - 1$
- $v = \cos\left(x\right)$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\left(3x^{2} - 1\right)\,\cos\left(x\right)\right)}\,}}}$$
Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(3x^{2} - 1\right)}\cos\left(x\right) + \left(3x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Summen-/Differenzenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = 3x^{2}$
- $v = 1$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(3x^{2} - 1\right)}\,}}}\cos\left(x\right) + \left(3x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)}$$
Nach Summen-/Differenzenregel
$$\left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(3x^{2}\right)} - \frac{d}{dx}{\left(1\right)}\,}}}\right)\,\cos\left(x\right) + \left(3x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)}$$
Schritt 3 — Faktorregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 3$
- $u = x^{2}$
Aktueller Ausdruck
$$\left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(3x^{2}\right)}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(1\right)}\right)\,\cos\left(x\right) + \left(3x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)}$$
Nach Faktorregel
$$\left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(1\right)}\right)\,\cos\left(x\right) + \left(3x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)}$$
Schritt 4 — Potenzregel (Spezialfall)
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 2$
Aktueller Ausdruck
$$\left(3\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(1\right)}\right)\,\cos\left(x\right) + \left(3x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)}$$
Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\left(3 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2x^{2 - 1}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(1\right)}\right)\,\cos\left(x\right) + \left(3x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)}$$
Vereinfacht
$$\left(\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,6x\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(1\right)}\right)\,\cos\left(x\right) + \left(3x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)}$$
Schritt 5 — Konstantenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
- $c = 1$
Aktueller Ausdruck
$$\left(6x - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(1\right)}\,}}}\right)\,\cos\left(x\right) + \left(3x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)}$$
Nach Konstantenregel
$$\left(6x - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right)\,\cos\left(x\right) + \left(3x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)}$$
Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,6x\cos\left(x\right)\,}}} + \left(3x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)}$$
Schritt 6 — Ableitung des Kosinus
Regel
$$\frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x)$$
Aktueller Ausdruck
$$6x\cos\left(x\right) + \left(3x^{2} - 1\right)\,\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)}\,}}}$$
Nach Ableitung des Kosinus
$$6x\cos\left(x\right) + \left(3x^{2} - 1\right)\,\left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(x\right)\,}}}\right)$$
Ergebnis
$$6x\cos\left(x\right) + \left(3x^{2} - 1\right)\,\left(-\sin\left(x\right)\right)$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$6x\cos\left(x\right) - \left(3x^{2} - 1\right)\,\sin\left(x\right)$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)