Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\sin\left(x\right)^{\cos\left(x\right)} - x$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)^{\cos\left(x\right)} - x\right]}$$
Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.
Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = \sin\left(x\right)^{\cos\left(x\right)}$
- $v = x$
Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)^{\cos\left(x\right)} - x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)^{\cos\left(x\right)}\right]} - \frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Allgemeine Potenzregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{v}\right)=u^{v}\,\big(v'\,\ln(u)+\frac{v\,u'}{u}\big)$$
Mit:
- $u = \sin\left(x\right)$
- $v = \cos\left(x\right)$
Warum dieser Schritt? Sowohl Basis als auch Exponent hängen von x ab. Beide Änderungen tragen zur Ableitung bei. Die angegebene reelle Formel setzt eine positive Basis voraus.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)^{\cos\left(x\right)}\right]} \;\Longrightarrow\; \sin\left(x\right)^{\cos\left(x\right)}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}\,\ln\left(\sin\left(x\right)\right) + \cos\left(x\right) \cdot \frac{\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}}{\sin\left(x\right)}\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)^{\cos\left(x\right)}\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
✨ Nach Allgemeine Potenzregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sin\left(x\right)^{\cos\left(x\right)}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}\,\ln\left(\sin\left(x\right)\right) + \cos\left(x\right) \cdot \frac{\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}}{\sin\left(x\right)}\right)\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
Schritt 3 — Ableitung des Kosinus
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\cos\left(x\right)=-\sin\left(x\right)$$
Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; -\sin\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\sin\left(x\right)^{\cos\left(x\right)}\,\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}\,}}}\,\ln\left(\sin\left(x\right)\right) + \cos\left(x\right) \cdot \frac{\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}}{\sin\left(x\right)}\right) - \frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
✨ Nach Ableitung des Kosinus
$$\sin\left(x\right)^{\cos\left(x\right)}\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(x\right)\,}}}\,\ln\left(\sin\left(x\right)\right) + \cos\left(x\right) \cdot \frac{\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}}{\sin\left(x\right)}\right) - \frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
Schritt 4 — Ableitung des Sinus
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\sin\left(x\right)=\cos\left(x\right)$$
Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \cos\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\sin\left(x\right)^{\cos\left(x\right)}\,\left(-\sin\left(x\right)\,\ln\left(\sin\left(x\right)\right) + \cos\left(x\right) \cdot \frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,}}}}{\sin\left(x\right)}\right) - \frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
✨ Nach Ableitung des Sinus
$$\sin\left(x\right)^{\cos\left(x\right)}\,\left(-\sin\left(x\right)\,\ln\left(\sin\left(x\right)\right) + \cos\left(x\right) \cdot \frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,}}}}{\sin\left(x\right)}\right) - \frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
Schritt 5 — Zu einem Bruch zusammenfassen
Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$
Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.
Nur der geänderte Teil:
$\cos\left(x\right) \cdot \frac{\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)} \;\Longrightarrow\; \frac{\cos\left(x\right)\,\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\sin\left(x\right)^{\cos\left(x\right)}\,\left(-\sin\left(x\right)\,\ln\left(\sin\left(x\right)\right) + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right) \cdot \frac{\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)}\,}}}\right) - \frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\sin\left(x\right)^{\cos\left(x\right)}\,\left(-\sin\left(x\right)\,\ln\left(\sin\left(x\right)\right) + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\cos\left(x\right)\,\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)}\,}}}\right) - \frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
Schritt 6 — Gleiche Faktoren als Quadrat schreiben
Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot a=a^2$$
Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck mal sich selbst ist das Quadrat dieses Ausdrucks.
Nur der geänderte Teil:
$\cos\left(x\right)\,\cos\left(x\right) \;\Longrightarrow\; \cos\left(x\right)^{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\sin\left(x\right)^{\cos\left(x\right)}\,\left(-\sin\left(x\right)\,\ln\left(\sin\left(x\right)\right) + \frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,\cos\left(x\right)\,}}}}{\sin\left(x\right)}\right) - \frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
✨ Nach Gleiche Faktoren als Quadrat schreiben
$$\sin\left(x\right)^{\cos\left(x\right)}\,\left(-\sin\left(x\right)\,\ln\left(\sin\left(x\right)\right) + \frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)^{2}\,}}}}{\sin\left(x\right)}\right) - \frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
Schritt 7 — Ableitung der Variablen
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\sin\left(x\right)^{\cos\left(x\right)}\,\left(-\sin\left(x\right)\,\ln\left(\sin\left(x\right)\right) + \frac{\cos\left(x\right)^{2}}{\sin\left(x\right)}\right) - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\sin\left(x\right)^{\cos\left(x\right)}\,\left(-\sin\left(x\right)\,\ln\left(\sin\left(x\right)\right) + \frac{\cos\left(x\right)^{2}}{\sin\left(x\right)}\right) - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}$$
Endergebnis
$$\sin\left(x\right)^{\cos\left(x\right)}\,\left(-\sin\left(x\right)\,\ln\left(\sin\left(x\right)\right) + \frac{\cos\left(x\right)^{2}}{\sin\left(x\right)}\right) - 1$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
- $\sin\left(x\right)>0$ – Die allgemeine reelle Potenzregel wird für eine positive Basis verwendet.
Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\sin\left(x\right)^{\cos\left(x\right)}\,\left(\frac{\cos\left(x\right)^{2}}{\sin\left(x\right)} - \sin\left(x\right)\,\log\left(\sin\left(x\right)\right)\right) - 1$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt