Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\sin^{\cos\left(x\right)}(x) - x$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\sin^{\cos\left(x\right)}(x) - x\right)}$$
Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = \sin^{\cos\left(x\right)}(x)$
- $v = x$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\sin^{\cos\left(x\right)}(x) - x\right)}\,}}}$$
Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\sin^{\cos\left(x\right)}(x)\right)} - \frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Allgemeine Potenzregel
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{v}\right)=u^{v}\,\big(v'\,\ln(u)+\frac{v\,u'}{u}\big)$$
Mit:
- $u = \sin\left(x\right)$
- $v = \cos\left(x\right)$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\sin^{\cos\left(x\right)}(x)\right)}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(x\right)}$$
Nach Allgemeine Potenzregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sin^{\cos\left(x\right)}(x) \cdot \left(\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)}\ln\left(\sin\left(x\right)\right) + \cos\left(x\right) \cdot \frac{\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}}{\sin\left(x\right)}\right)\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(x\right)}$$
Schritt 3 — Ableitung des Kosinus
Regel
$$\frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x)$$
Aktueller Ausdruck
$$\sin^{\cos\left(x\right)}(x) \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)}\,}}}\ln\left(\sin\left(x\right)\right) + \cos\left(x\right) \cdot \frac{\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}}{\sin\left(x\right)}\right) - \frac{d}{dx}{\left(x\right)}$$
Nach Ableitung des Kosinus
$$\sin^{\cos\left(x\right)}(x) \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(x\right)\,}}}\ln\left(\sin\left(x\right)\right) + \cos\left(x\right) \cdot \frac{\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}}{\sin\left(x\right)}\right) - \frac{d}{dx}{\left(x\right)}$$
Schritt 4 — Ableitung des Sinus
Regel
$$\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)$$
Aktueller Ausdruck
$$\sin^{\cos\left(x\right)}(x) \cdot \left(-\sin\left(x\right)\ln\left(\sin\left(x\right)\right) + \cos\left(x\right) \cdot \frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}\,}}}}{\sin\left(x\right)}\right) - \frac{d}{dx}{\left(x\right)}$$
Nach Ableitung des Sinus
$$\sin^{\cos\left(x\right)}(x) \cdot \left(-\sin\left(x\right)\ln\left(\sin\left(x\right)\right) + \cos\left(x\right) \cdot \frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,}}}}{\sin\left(x\right)}\right) - \frac{d}{dx}{\left(x\right)}$$
Schritt 5 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\sin^{\cos\left(x\right)}(x) \cdot \left(-\sin\left(x\right)\ln\left(\sin\left(x\right)\right) + \cos\left(x\right) \cdot \frac{\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)}\right) - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\sin^{\cos\left(x\right)}(x) \cdot \left(-\sin\left(x\right)\ln\left(\sin\left(x\right)\right) + \cos\left(x\right) \cdot \frac{\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)}\right) - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}$$
Ergebnis
$$\sin^{\cos\left(x\right)}(x) \cdot \left(-\sin\left(x\right)\ln\left(\sin\left(x\right)\right) + \cos\left(x\right) \cdot \frac{\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)}\right) - 1$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$\sin^{\cos\left(x\right)}(x)\left(\frac{\cos^{2}(x)}{\sin\left(x\right)} - \sin\left(x\right)\log\left(\sin\left(x\right)\right)\right) - 1$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)