Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{x\mathrm{e}^{x}}{\sin\left(x\right)}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\frac{\mathrm{e}^{x}x}{\sin\left(x\right)}\right)}$$
Schritt 1 — Quotientenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = \mathrm{e}^{x}x$
- $v = \sin\left(x\right)$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\frac{\mathrm{e}^{x}x}{\sin\left(x\right)}\right)}\,}}}$$
Nach Quotientenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}x\right)}\sin\left(x\right) - \mathrm{e}^{x}x\,\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}}{\sin^{2}\left(x\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Produktregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = \mathrm{e}^{x}$
- $v = x$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}x\right)}\,}}}\sin\left(x\right) - \mathrm{e}^{x}x\,\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}}{\sin^{2}\left(x\right)}$$
Nach Produktregel
$$\frac{\left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}x + \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\right)\,\sin\left(x\right) - \mathrm{e}^{x}x\,\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}}{\sin^{2}\left(x\right)}$$
Schritt 3 — Ableitung der Exponentialfunktion
Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\,}}}x + \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\right)\,\sin\left(x\right) - \mathrm{e}^{x}x\,\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}}{\sin^{2}\left(x\right)}$$
Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\frac{\left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}x + \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\right)\,\sin\left(x\right) - \mathrm{e}^{x}x\,\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}}{\sin^{2}\left(x\right)}$$
Vereinfacht
$$\frac{\left(\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}\frac{d}{dx}{\left(x\right)}x + \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\right)\,\sin\left(x\right) - \mathrm{e}^{x}x\,\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}}{\sin^{2}\left(x\right)}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(\mathrm{e}^{x}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}x + \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\right)\,\sin\left(x\right) - \mathrm{e}^{x}x\,\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}}{\sin^{2}\left(x\right)}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\left(\mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}x + \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\right)\,\sin\left(x\right) - \mathrm{e}^{x}x\,\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}}{\sin^{2}\left(x\right)}$$
Vereinfacht
$$\frac{\left(\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}x + \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\right)\,\sin\left(x\right) - \mathrm{e}^{x}x\,\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}}{\sin^{2}\left(x\right)}$$
Schritt 5 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(\mathrm{e}^{x}x + \mathrm{e}^{x}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\right)\,\sin\left(x\right) - \mathrm{e}^{x}x\,\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}}{\sin^{2}\left(x\right)}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\left(\mathrm{e}^{x}x + \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\right)\,\sin\left(x\right) - \mathrm{e}^{x}x\,\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}}{\sin^{2}\left(x\right)}$$
Vereinfacht
$$\frac{\left(\mathrm{e}^{x}x + \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}\right)\,\sin\left(x\right) - \mathrm{e}^{x}x\,\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}}{\sin^{2}\left(x\right)}$$
Schritt 6 — Ableitung des Sinus
Regel
$$\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)$$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(\mathrm{e}^{x}x + \mathrm{e}^{x}\right)\,\sin\left(x\right) - \mathrm{e}^{x}x\,\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}\,}}}}{\sin^{2}\left(x\right)}$$
Nach Ableitung des Sinus
$$\frac{\left(\mathrm{e}^{x}x + \mathrm{e}^{x}\right)\,\sin\left(x\right) - \mathrm{e}^{x}x\,\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,}}}}{\sin^{2}\left(x\right)}$$
Ergebnis
$$\frac{\left(\mathrm{e}^{x}x + \mathrm{e}^{x}\right)\,\sin\left(x\right) - \mathrm{e}^{x}x\,\cos\left(x\right)}{\sin^{2}\left(x\right)}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$\frac{\mathrm{e}^{x}x}{\sin\left(x\right)} + \frac{\mathrm{e}^{x}}{\sin\left(x\right)} - \frac{\mathrm{e}^{x}x\cos\left(x\right)}{\sin^{2}\left(x\right)}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)