Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\frac{x\,\mathrm{e}^{x}}{\sin\left(x\right)}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{x\,\mathrm{e}^{x}}{\sin\left(x\right)}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Quotientenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
  • $u = x\,\mathrm{e}^{x}$
  • $v = \sin\left(x\right)$

Warum dieser Schritt? Im Zähler steht: Ableitung des Zählers mal Nenner, minus Zähler mal Ableitung des Nenners. Darunter steht der Nenner zum Quadrat. Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{x\,\mathrm{e}^{x}}{\sin\left(x\right)}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[x\,\mathrm{e}^{x}\right]}\,\sin\left(x\right) - x\,\mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}}{\sin\left(x\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Produktregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = x$
  • $v = \mathrm{e}^{x}$

Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\,\mathrm{e}^{x}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,\mathrm{e}^{x} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\,\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}\,\sin\left(x\right) - x\,\mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}}{\sin\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,\mathrm{e}^{x} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\right)\,}}}\,\sin\left(x\right) - x\,\mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}}{\sin\left(x\right)^{2}}$$
Schritt 3 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\mathrm{e}^{x} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\right)\,\sin\left(x\right) - x\,\mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}}{\sin\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\mathrm{e}^{x} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\right)\,\sin\left(x\right) - x\,\mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}}{\sin\left(x\right)^{2}}$$
Schritt 4 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $1\,\mathrm{e}^{x} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,\mathrm{e}^{x}\,}}} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\right)\,\sin\left(x\right) - x\,\mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}}{\sin\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\right)\,\sin\left(x\right) - x\,\mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}}{\sin\left(x\right)^{2}}$$
Schritt 5 — Ableitung der Exponentialfunktion Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = x$

Warum dieser Schritt? Die e-Funktion bleibt beim Ableiten erhalten. Für einen zusammengesetzten Exponenten kommt mit der Kettenregel dessen Ableitung hinzu.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(\mathrm{e}^{x} + x\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}\right)\,\sin\left(x\right) - x\,\mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}}{\sin\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\frac{\left(\mathrm{e}^{x} + x\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\right)\,\sin\left(x\right) - x\,\mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}}{\sin\left(x\right)^{2}}$$
Schritt 6 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(\mathrm{e}^{x} + x\,\mathrm{e}^{x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\right)\,\sin\left(x\right) - x\,\mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}}{\sin\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\left(\mathrm{e}^{x} + x\,\mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\right)\,\sin\left(x\right) - x\,\mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}}{\sin\left(x\right)^{2}}$$
Schritt 7 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $\mathrm{e}^{x} \cdot 1 \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(\mathrm{e}^{x} + x\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x} \cdot 1\,}}}\right)\,\sin\left(x\right) - x\,\mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}}{\sin\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{\left(\mathrm{e}^{x} + x\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}\right)\,\sin\left(x\right) - x\,\mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}}{\sin\left(x\right)^{2}}$$
Schritt 8 — Ableitung des Sinus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\sin\left(x\right)=\cos\left(x\right)$$

Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \cos\left(x\right)$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(\mathrm{e}^{x} + x\,\mathrm{e}^{x}\right)\,\sin\left(x\right) - x\,\mathrm{e}^{x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,}}}}{\sin\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung des Sinus
$$\frac{\left(\mathrm{e}^{x} + x\,\mathrm{e}^{x}\right)\,\sin\left(x\right) - x\,\mathrm{e}^{x}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,}}}}{\sin\left(x\right)^{2}}$$
Endergebnis
$$\frac{\left(\mathrm{e}^{x} + x\,\mathrm{e}^{x}\right)\,\sin\left(x\right) - x\,\mathrm{e}^{x}\,\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)^{2}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $\sin\left(x\right)\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,x}{\sin\left(x\right)} + \frac{\mathrm{e}^{x}}{\sin\left(x\right)} - \frac{\mathrm{e}^{x}\,x\,\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)^{2}}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt