Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{x + 1}{\sqrt{x}}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{x + 1}{\sqrt{x}}\right]}$$
Schritt 1 — Quotientenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = x + 1$
- $v = \sqrt{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{x + 1}{\sqrt{x}}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[x + 1\right]}\,\sqrt{x} - \left(x + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}}{\sqrt{x}^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Summen-/Differenzenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = x$
- $v = 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x + 1\right]}\,}}}\,\sqrt{x} - \left(x + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}}{\sqrt{x}^{2}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}}\,\sqrt{x} - \left(x + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}}{\sqrt{x}^{2}}$$
Schritt 3 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\sqrt{x} - \left(x + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}}{\sqrt{x}^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\sqrt{x} - \left(x + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}}{\sqrt{x}^{2}}$$
Schritt 4 — Konstantenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
- $c = 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(1 + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}}\right)\,\sqrt{x} - \left(x + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}}{\sqrt{x}^{2}}$$
✨ Nach Konstantenregel
$$\frac{\left(1 + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right)\,\sqrt{x} - \left(x + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}}{\sqrt{x}^{2}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{\sqrt{x} - \left(x + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}}{\sqrt{x}^{2}}$$
Schritt 5 — Kettenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}f(u)=f'(u)\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\sqrt{x} - \left(x + 1\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}\,}}}}{\sqrt{x}^{2}}$$
✨ Nach Kettenregel
$$\frac{\sqrt{x} - \left(x + 1\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2\,\sqrt{x}}\,}}}}{\sqrt{x}^{2}}$$
Endergebnis
$$\frac{x - 1}{2\,x^{\frac{3}{2}}}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{x + 1}{2\,x^{\frac{3}{2}}}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)