Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\left(x + 1\right)\,\left(x - 1\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\left(x + 1\right)\,\left(x - 1\right)\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Produktregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = x + 1$
  • $v = x - 1$

Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x + 1\right)\,\left(x - 1\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x + 1\right]}\,\left(x - 1\right) + \left(x + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Summen-/Differenzenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
  • $u = x$
  • $v = 1$

Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x + 1\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[x\right]} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x + 1\right]}\,}}}\,\left(x - 1\right) + \left(x + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[x\right]} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,}}}\,\left(x - 1\right) + \left(x + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]}$$
Schritt 3 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\left(x - 1\right) + \left(x + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\left(x - 1\right) + \left(x + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]}$$
Schritt 4 — Konstantenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
  • $c = 1$

Warum dieser Schritt? Dieser Term hängt nicht von x ab. Sein Wert bleibt gleich, wenn sich x ändert. Deshalb ist die Ableitung 0. Andere Buchstaben werden als konstante Parameter behandelt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[1\right]} \;\Longrightarrow\; 0$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(1 + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}}\right)\,\left(x - 1\right) + \left(x + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]}$$
✨ Nach Konstantenregel
$$\left(1 + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right)\,\left(x - 1\right) + \left(x + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]}$$
Schritt 5 — Null als Summand entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$a+0=a,\quad a-0=a$$

Warum dieser Schritt? Das Addieren oder Subtrahieren von 0 ändert den Wert nicht. Dieser Summand darf wegfallen.

Nur der geänderte Teil: $1 + 0 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(1 + 0\right)\,}}}\,\left(x - 1\right) + \left(x + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]}$$
✨ Nach Null als Summand entfernen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\left(x - 1\right) + \left(x + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]}$$
Schritt 6 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $1\,\left(x - 1\right) \;\Longrightarrow\; x - 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,\left(x - 1\right)\,}}} + \left(x + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x - 1\,}}} + \left(x + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]}$$
Schritt 7 — Summen-/Differenzenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
  • $u = x$
  • $v = 1$

Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[x\right]} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$x - 1 + \left(x + 1\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$x - 1 + \left(x + 1\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[x\right]} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,}}}$$
Schritt 8 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$x - 1 + \left(x + 1\right)\,\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$x - 1 + \left(x + 1\right)\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)$$
Schritt 9 — Konstantenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
  • $c = 1$

Warum dieser Schritt? Dieser Term hängt nicht von x ab. Sein Wert bleibt gleich, wenn sich x ändert. Deshalb ist die Ableitung 0. Andere Buchstaben werden als konstante Parameter behandelt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[1\right]} \;\Longrightarrow\; 0$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$x - 1 + \left(x + 1\right)\,\left(1 - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}}\right)$$
✨ Nach Konstantenregel
$$x - 1 + \left(x + 1\right)\,\left(1 - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right)$$
Schritt 10 — Null als Summand entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$a+0=a,\quad a-0=a$$

Warum dieser Schritt? Das Addieren oder Subtrahieren von 0 ändert den Wert nicht. Dieser Summand darf wegfallen.

Nur der geänderte Teil: $1 - 0 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$x - 1 + \left(x + 1\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(1 - 0\right)\,}}}$$
✨ Nach Null als Summand entfernen
$$x - 1 + \left(x + 1\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}$$
Schritt 11 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $\left(x + 1\right) \cdot 1 \;\Longrightarrow\; x + 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$x - 1 + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(x + 1\right) \cdot 1\,}}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$x - 1 + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x + 1\,}}}$$
Schritt 12 — Gleichartige Terme zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot u\pm b\cdot u=(a\pm b)\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beide Summanden haben denselben variablen Teil. Wir klammern ihn aus und schreiben die Summe oder Differenz der Zahlenfaktoren davor. Diese Zahlenrechnung folgt im nächsten Schritt.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x - 1 + x + 1\,}}}$$
✨ Nach Gleichartige Terme zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(1 + 1\right)\,x - 1 + 1\,}}}$$
Schritt 13 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $1 + 1 \;\Longrightarrow\; 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(1 + 1\right)\,}}}\,x - 1 + 1$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}}\,x - 1 + 1$$
Schritt 14 — Entgegengesetzte Terme heben sich auf Vereinfachung
📖 Regel
$$u-u=0$$

Warum dieser Schritt? Derselbe Term kommt einmal mit Plus und einmal mit Minus vor. Zusammen ergeben sie 0, deshalb fallen beide weg.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x - 1 + 1\,}}}$$
✨ Nach Entgegengesetzte Terme heben sich auf
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,}}}$$
Endergebnis
$$2\,x$$
Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$2\,x$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt