Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\frac{x^{2} + 1}{\sqrt[3]{x}}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{x^{2} + 1}{\sqrt[3]{x}}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Quotientenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
  • $u = x^{2} + 1$
  • $v = \sqrt[3]{x}$

Warum dieser Schritt? Im Zähler steht: Ableitung des Zählers mal Nenner, minus Zähler mal Ableitung des Nenners. Darunter steht der Nenner zum Quadrat. Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{x^{2} + 1}{\sqrt[3]{x}}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]}\,\sqrt[3]{x} - \left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt[3]{x}\right]}}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Summen-/Differenzenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
  • $u = x^{2}$
  • $v = 1$

Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]}\,}}}\,\sqrt[3]{x} - \left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt[3]{x}\right]}}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,}}}\,\sqrt[3]{x} - \left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt[3]{x}\right]}}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^{2}}$$
Schritt 3 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 2$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\sqrt[3]{x} - \left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt[3]{x}\right]}}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\frac{\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\sqrt[3]{x} - \left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt[3]{x}\right]}}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^{2}}$$
Schritt 4 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\sqrt[3]{x} - \left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt[3]{x}\right]}}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{\left(2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\sqrt[3]{x} - \left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt[3]{x}\right]}}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^{2}}$$
Schritt 5 — Potenz mit Exponent 1 Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.

Nur der geänderte Teil: $x^{1} \;\Longrightarrow\; x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{1}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\sqrt[3]{x} - \left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt[3]{x}\right]}}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$\frac{\left(2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\sqrt[3]{x} - \left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt[3]{x}\right]}}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^{2}}$$
Schritt 6 — Konstantenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
  • $c = 1$

Warum dieser Schritt? Dieser Term hängt nicht von x ab. Sein Wert bleibt gleich, wenn sich x ändert. Deshalb ist die Ableitung 0. Andere Buchstaben werden als konstante Parameter behandelt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[1\right]} \;\Longrightarrow\; 0$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(2\,x + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}}\right)\,\sqrt[3]{x} - \left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt[3]{x}\right]}}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Konstantenregel
$$\frac{\left(2\,x + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right)\,\sqrt[3]{x} - \left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt[3]{x}\right]}}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^{2}}$$
Schritt 7 — Null als Summand entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$a+0=a,\quad a-0=a$$

Warum dieser Schritt? Das Addieren oder Subtrahieren von 0 ändert den Wert nicht. Dieser Summand darf wegfallen.

Nur der geänderte Teil: $2\,x + 0 \;\Longrightarrow\; 2\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(2\,x + 0\right)\,}}}\,\sqrt[3]{x} - \left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt[3]{x}\right]}}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Null als Summand entfernen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,}}}\,\sqrt[3]{x} - \left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt[3]{x}\right]}}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^{2}}$$
Schritt 8 — Wurzel als Potenz schreiben Umformung
📖 Regel
$$\sqrt[n]{u}=u^{1/n}$$

Warum dieser Schritt? Wir schreiben die Wurzel als Potenz mit dem Exponenten 1/n. Hängt n von x ab, wird auch dieser Exponent mit abgeleitet. Die hier verwendete reelle Potenzdarstellung gilt im positiven Bereich.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\sqrt[3]{x}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[x^{\frac{1}{3}}\right]}$
Interne Erklärung
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,x\,\sqrt[3]{x} - \left(x^{2} + 1\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt[3]{x}\right]}\,}}}}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Wurzel als Potenz schreiben
$$\frac{2\,x\,\sqrt[3]{x} - \left(x^{2} + 1\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{\frac{1}{3}}\right]}\,}}}}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^{2}}$$
Schritt 9 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = \frac{1}{3}$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{\frac{1}{3}}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{3}\,x^{\frac{1}{3} - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,x\,\sqrt[3]{x} - \left(x^{2} + 1\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{\frac{1}{3}}\right]}\,}}}}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\frac{2\,x\,\sqrt[3]{x} - \left(x^{2} + 1\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{3}\,x^{\frac{1}{3} - 1}\,}}}}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^{2}}$$
Schritt 10 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{1}{3} - 1 \;\Longrightarrow\; -\frac{2}{3}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,x\,\sqrt[3]{x} - \left(x^{2} + 1\right)\,\frac{1}{3}\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{3} - 1\,}}}}}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{2\,x\,\sqrt[3]{x} - \left(x^{2} + 1\right)\,\frac{1}{3}\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{2}{3}\,}}}}}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^{2}}$$
Schritt 11 — Vorzeichen des Produkts bestimmen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(-b)=-(a\cdot b),\quad (-a)\cdot(-b)=a\cdot b$$

Warum dieser Schritt? Wir ziehen die Minuszeichen der Faktoren vor das Produkt. Eine gerade Anzahl von Minuszeichen ergibt Plus, eine ungerade Minus.

Nur der geänderte Teil: $\left(x^{2} + 1\right)\,\frac{1}{3}\,x^{-\frac{2}{3}} \;\Longrightarrow\; \left(x^{2} + 1\right) \cdot \frac{1}{3}\,x^{-\frac{2}{3}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,x\,\sqrt[3]{x} - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(x^{2} + 1\right)\,\frac{1}{3}\,x^{-\frac{2}{3}}\,}}}}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Vorzeichen des Produkts bestimmen
$$\frac{2\,x\,\sqrt[3]{x} - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(x^{2} + 1\right) \cdot \frac{1}{3}\,x^{-\frac{2}{3}}\,}}}}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^{2}}$$
Schritt 12 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $\left(x^{2} + 1\right) \cdot \frac{1}{3}\,x^{-\frac{2}{3}} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{3}\,x^{-\frac{2}{3}}\,\left(x^{2} + 1\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,x\,\sqrt[3]{x} - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(x^{2} + 1\right) \cdot \frac{1}{3}\,x^{-\frac{2}{3}}\,}}}}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\frac{2\,x\,\sqrt[3]{x} - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{3}\,x^{-\frac{2}{3}}\,\left(x^{2} + 1\right)\,}}}}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^{2}}$$
Schritt 13 — Negative Exponenten als Bruch schreiben Vereinfachung
📖 Regel
$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

Warum dieser Schritt? Eine Potenz mit negativem Exponenten ist der Kehrwert der Potenz mit positivem Exponenten. So steht das Ergebnis ohne negative Exponenten da.

Nur der geänderte Teil: $\frac{1}{3}\,x^{-\frac{2}{3}}\,\left(x^{2} + 1\right) \;\Longrightarrow\; \frac{x^{2} + 1}{3\,x^{\frac{2}{3}}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,x\,\sqrt[3]{x} - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{3}\,x^{-\frac{2}{3}}\,\left(x^{2} + 1\right)\,}}}}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Negative Exponenten als Bruch schreiben
$$\frac{2\,x\,\sqrt[3]{x} - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{x^{2} + 1}{3\,x^{\frac{2}{3}}}\,}}}}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^{2}}$$
Endergebnis
$$\frac{2\,x\,\sqrt[3]{x} - \frac{x^{2} + 1}{3\,x^{\frac{2}{3}}}}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^{2}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $x>0$ – Die angegebene Wurzelableitung gilt hier im positiven Bereich; andere reelle Zweige und Randstellen brauchen eine gesonderte Prüfung.
  • $\sqrt[3]{x}\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$2\,x^{\frac{2}{3}} - \frac{x^{2} + 1}{3\,x^{\frac{4}{3}}}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt