Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{x^{2} + 1}{\sqrt[3]{x}}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(x^{\frac{5}{3}} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)}$$
Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = x^{\frac{5}{3}}$
- $v = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{\frac{5}{3}} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)}\,}}}$$
Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{\frac{5}{3}}\right)} + \frac{d}{dx}{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Potenzregel (Spezialfall)
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = \frac{5}{3}$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{\frac{5}{3}}\right)}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)}$$
Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{5}{3}\,x^{\frac{5}{3} - 1}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)}$$
Vereinfacht
$$\frac{5}{3}\,\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{\frac{2}{3}}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)}$$
Schritt 3 — Quotientenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = 1$
- $v = \sqrt[3]{x}$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{5}{3}\,x^{\frac{2}{3}} + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)}\,}}}$$
Nach Quotientenregel
$$\frac{5}{3}\,x^{\frac{2}{3}} + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left(1\right)}\sqrt[3]{x} - 1\,\frac{d}{dx}{\left(\sqrt[3]{x}\right)}}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^{2}}\,}}}$$
Vereinfacht
$$\frac{5}{3}\,x^{\frac{2}{3}} + \frac{\frac{d}{dx}{\left(1\right)}\sqrt[3]{x} - \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\sqrt[3]{x}\right)}\,}}}}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^{2}}$$
Schritt 4 — Konstantenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
- $c = 1$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{5}{3}\,x^{\frac{2}{3}} + \frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(1\right)}\,}}}\sqrt[3]{x} - \frac{d}{dx}{\left(\sqrt[3]{x}\right)}}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^{2}}$$
Nach Konstantenregel
$$\frac{5}{3}\,x^{\frac{2}{3}} + \frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\,\sqrt[3]{x} - \frac{d}{dx}{\left(\sqrt[3]{x}\right)}}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^{2}}$$
Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{5}{3}\,x^{\frac{2}{3}} - \frac{\frac{d}{dx}{\left(\sqrt[3]{x}\right)}}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 5 — Potenzregel (Spezialfall)
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = \frac{1}{3}$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{5}{3}\,x^{\frac{2}{3}} - \frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\sqrt[3]{x}\right)}\,}}}}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^{2}}$$
Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\frac{5}{3}\,x^{\frac{2}{3}} - \frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{3}\,x^{\frac{1}{3} - 1}\,}}}}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^{2}}$$
Vereinfacht
$$\frac{5}{3}\,x^{\frac{2}{3}} - \frac{\frac{1}{3}\,\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{-\frac{2}{3}}\,}}}}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^{2}}$$
Ergebnis
$$\frac{5}{3}\,x^{\frac{2}{3}} - \frac{\frac{1}{3}\,x^{-\frac{2}{3}}}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^{2}}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$\frac{5}{3}\,x^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)